曲面のスケイン代数、ゴールドマン・リー代数および写像類群の相互関係の研究

曲面 Skeine 代数、Goldman-Lie 代数和映射类群之间相互关系的研究

基本信息

批准号：
15J05288
负责人：
辻俊輔
金额：
$ 1.6万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2015
资助国家：
日本
起止时间：
2015-04-24 至 2018-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

この研究の目的は、スケイン代数を用いて２次元におけるトポロジーの研究と３次元のトポロジーの研究を結びつけることである。スケイン代数は２次元トポロジーにおいては、ゴールドマン・リー代数を深化させた対象と思うことができる。また３次元トポロジーにおいてはカウフマン・ブラケットやHOMFLY-PT多項式といった多項式絡み目不変量をハンドルボディの絡み目の研究に拡張したものとみなすことができる。この研究では、スケイン代数の２次元トポロジーと３次元トポロジーの二つの見方により、２次元トポロジーと３次元トポロジーの研究を行った。著者は修士課程において、河澄-久野、マシュヨ-テュラエフの研究で得られたゴールドマン・リー代数と基本群の研究のアナロジーとして、カウフマン・ブラケット・スケイン加群へのデーン・ツィストの作用をカウフマン・ブラケット・スケイン代数の作用で記述する公式を得た。デーン・ツィストは、曲面の研究で中心的な役割をする写像類群を生成する元である。一年目の研究では、カウフマン・ブラケット・スケイン代数におけるデーン・ツイストの公式を用いて、トレリ群から完備化されたカウフマン・ブラケット・スケイン代数への埋め込みを構成した。この埋め込みは次の二つの意味を持つ。一つ目は、写像類群に正規部分群からなる新しいフィルトレーションを入れることができたことである。二つ目は整係数ホモロジー3-球面の不変量の構成ができたことである。さらに、１年目の研究を踏まえて、２年目の研究では、カウフマン・ブラケット・スケイン代数で行った研究のアナロジーとしてHOMFLY-PTタイプ・スケイン代数において研究を行った。これらを踏まえて３年目の研究では、HOMFLY-PTタイプ・スケイン代数の研究とカウフマン・ブラケット・スケイン代数の研究を明確に結びつけた。

本研究的目的是利用斯基恩代数将二维拓扑的研究和三维拓扑的研究联系起来。在二维拓扑中，斯基恩代数可以被认为是戈德曼-李代数的深化版本。此外，在三维拓扑中，考夫曼括号和HOMFLY-PT多项式等多项式连杆不变量可以被认为是对手柄体连杆研究的延伸。在本研究中，我们从Skeine代数的二维拓扑和三维拓扑两个角度研究了二维拓扑和三维拓扑。在他的硕士课程中，作者使用 Kaufmann-Brackett-Skein 模上的 Kaufmann-Zist 作用作为 Kawasumi-Kuno 和 Mashyo-Tulaev 研究中获得的 Goldman-Lie 代数和基本群研究的类比，我们得到了一个。由 Brackett-Skein 代数的作用描述的公式。 Dane-Zist 是在曲面研究中发挥核心作用的映射类的起源。在第一年的研究中，我们使用 Kaufman-Brackett-Skein 代数中的 Dehn-Twist 公式来构建从 Trell 群到完整 Kaufman-Brackett-Skein 代数的嵌入。这种嵌入有以下两个含义。首先，我们能够将由常规子组组成的新过滤引入到映射类组中。第二个是我们构造了积分系数同调3-球面的不变量。此外，在第一年研究的基础上，在第二年的研究中，我们类比Kaufman-Brackett-Skein代数的研究，进行了HOMFLY-PT型Skein代数的研究。基于此，在第三年的研究中，我们明确地将HOMFLY-PT型Skeine代数的研究和Kaufman-Brackett-Skeine代数的研究联系起来。