超局所解析および調和解析を用いた消散型波動方程式の解の漸近挙動の研究

使用超局部分析和调和分析研究耗散波动方程解的渐近行为

基本信息

批准号：
15J01600
负责人：
若杉勇太
金额：
$ 1.91万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2015
资助国家：
日本
起止时间：
2015-04-24 至 2018-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

空間変数に依存する摩擦項をもつ線形波動方程式に対して，摩擦が効果的に働く場合の解の漸近挙動について研究を行った．先行研究では全空間かつ特別な形の摩擦項に対し，解が対応する熱方程式の解に漸近すること（拡散現象）が示されていたが，本研究では側島基宏氏（東京理科大学）の協力のもと，これを一般の外部領域および摩擦項に対し拡張を行った．証明は対応する熱半群に対する評価と，消散型波動方程式に対する重み付きエネルギー評価を組み合わせることにより行った．一般の摩擦項を取り扱うにあたって，適当な重み関数を構成するため，摩擦項の係数を右辺にもつPoisson方程式の可解性について考察を行った．摩擦に球対称性を課さない場合には，このPoisson方程式には適切な遠方の挙動をもつ解が一般には存在しない点が困難であったが，この問題はPoisson方程式を誤差を許容した不等式に置き換えることで解決した．また，池田正弘氏（京都大学），藤原和将氏（早稲田大学）の協力のもと，時間変数に依存する摩擦項をもつ非線形波動方程式に対し，解の爆発，最大存在時間の評価および解の爆発率の研究を行った．解の最大存在時間については対応する熱方程式と同じ評価が成立することを示し，さらに解の爆発率については対応する波動方程式と同じ評価が得られることを示した．証明は空間変数に依存する適切な重み付きの積分平均に対する常微分方程式を導出し，この常微分方程式に対し適当な劣解を構成することにより行った．また，解の最大存在時間の下からの評価には，前年度の研究で開発したスケール変換による方法を用いることにより，最良な評価を得ることができた．

我们研究了当摩擦有效地作用于摩擦项取决于空间变量的线性波动方程时解的渐近行为。先前的研究表明，对于整个空间中特殊形式的摩擦项，其解渐近地逼近相应热方程的解（扩散现象），但在这项研究中，Motohiro Sojima（东京理科大学）用的合作，我们将其扩展到一般外部领域和摩擦术语。通过结合相应热半群的评估和耗散波方程的加权能量评估来进行证明。在处理一般摩擦项时，我们考虑泊松方程的可解性，并将摩擦项系数放在右侧，以构造适当的加权函数。如果不对摩擦施加球对称性，问题是泊松方程通常没有适当的长程行为的解，但是可以通过将泊松方程转换为我求解的允许误差的不等式来解决这个问题。通过替换它。此外，在Masahiro Ikeda先生（京都大学）和Kazumasa Fujiwara先生（早稻田大学）的合作下，我们开发了解爆炸、最大存在时间的评估以及摩擦项依赖于时间的非线性波动方程的求解我们对爆炸率进行了研究。我们表明，对于解的最大存在时间，与相应的热方程相同的评估成立，并且我们还表明，对于解的爆炸率，可以获得与相应的波动方程相同的评估。证明是通过根据空间变量推导具有适当权重的积分平均值的常微分方程，并构造该常微分方程的适当的劣解来进行的。此外，我们利用前一年研究中开发的尺度转换方法来评估解的最大存在时间，得到了最好的评估。