Smoothing estimates for dissipative evolutions equations and applications to nonlinear problems

耗散演化方程的平滑估计及其在非线性问题中的应用

基本信息

批准号：
20K14346
负责人：
若杉勇太
金额：
$ 2.58万
依托单位：
Hiroshima University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

(1) 津田谷公利氏（弘前大学）との共同研究で、Hubbl定数を含むFriedmann-Lemaitre-Robertson-Walker時空（FLRW時空）における非線形波動方程式およびそれを一般化した問題について、解の有限時間爆発および最大存在時間の上からの評価を与えた。もとのFLRW時空のモデルでは、パラメータの値に応じて消散項の形が効果的な場合と散乱的な場合の２つに分かれるが、これに対応して一般化した問題においても消散項の種類に応じて異なる最大時間評価が得られることを示した。また、散乱的な消散項の場合には、初期速度の積分平均が0かどうかに応じて最大存在時間が変化するという、定数系数の非線形波動方程式において知られている事実と対応する結果が得られることを証明した。(2) 池田正弘氏（理化学研究所・慶應義塾大学）、側島基宏氏（東京理科大学）、谷口晃一氏（東北大学）と共同で、２次元外部領域で２次の非線形項をもつ半線形消散型波動方程式の解の最適な最大存在時間評価について研究を行なった。２次元外部領域においてDirichlet境界条件を課す場合は、線形熱方程式の解の時間減衰が全空間の場合よりも対数オーダーの分だけ良くなることが知られている。まずは対応する線形消散型波動方程式に対しても同様の改良型減衰評価が成立することを証明した。しかし、この線形評価を単純に用いるだけでは、半線形問題のアプリオリ評価を得るには不十分である。そこで初期値に球対称性を課すことにより基本解の正値性を保証することで、解の対数重み付きのL1ノルム評価を導出し、このノルムを用いて最適な最大存在時間評価を導く解のアプリオリ評価を得ることに成功した。

(1) 与 Kimitoshi Tsudaya（弘前大学）共同研究，研究了包含 Hubbl 常数的 Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker 时空（FLRW 时空）中的非线性波动方程，以及将其推广到有限时间解的问题从上面评估爆炸和最大存在时间。在原始的FLRW时空模型中，根据参数值的不同，耗散项的形状分为有效和散射两种类型，结果表明，根据不同的类型可以获得不同的最大时间评估。此外，在散射耗散项的情况下，我们得到了与恒定系统的非线性波动方程中已知的事实相对应的结果，即最大存在时间根据初速度的积分平均值是否为0或0而变化事实证明这是可以做到的。 (2) 与Masahiro Ikeda先生（理化学研究所/庆应义塾大学）、Motohiro Sobajima先生（东京理科大学）和Koichi Taniguchi先生（东北大学）合作，我们开发了一种具有二次非线性项的半导体。我们对线性耗散波动方程解的最优最大存在时间评估进行了研究。众所周知，当在二维外域中施加狄利克雷边界条件时，线性热方程解的时间衰减比在整个空间的情况下变得对数级更好。首先，我们证明了类似的改进阻尼评估适用于相应的线性耗散波方程。然而，简单地使用这种线性评估不足以获得半线性问题的先验评估。因此，通过对初始值施加球对称性来保证基本解的正值，我们推导出解的对数加权L1范数评估，并使用该范数推导最优最大存在时间评估，我们成功地获得了一个。先验评估