臨界冪をもつ半線形波動方程式に対する初期境界値問題の解析

具有临界幂的半线性波动方程初边值问题分析

基本信息

批准号：
14J02330
负责人：
若狭恭平
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Hokkaido University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2014
资助国家：
日本
起止时间：
2014-04-25 至 2016-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は主に, 重みつき非線型項をもつ波動方程式を考察した. これは, ある半線型消散型波動方程式と関連があるもので, 時間変数に関して減衰するような消散項をもつ, 1次元半線型波動方程式である. 特に減衰率が, 解が熱方程式のそれか, 波動方程式のそれかに振る舞う臨界的な状態である場合を扱った. この場合消散項の係数が, 解が熱的か波動的かを決定することが, Wirth (2004) によって示されている. 本研究では, 解の挙動が熱的な場合を扱った.先行研究では, 半線型熱方程式の臨界指数(3次の非線型性)を境に解が時間大域的に存在するか, そうでないかが明らかにされていた. 時間大域解の存在については, D'Abbicco (2015), 時間大域解の非存在については, Wakasugi (2014) によって得られた. 特に, 時間大域解の非存在については, 解の最大存在時刻の上からの評価が, 非線型性が劣臨界の場合に得られていた.本研究では, 非線型性が臨界の場合についても, 解の最大存在時刻の最適な評価を得ることを目的とし, 初期値がある種の対称性(奇関数)を仮定する場合に, 解の挙動がどのように変化するのかということを観察した. 結果としては, 昨年度の研究内容であった, 空間変数の重みつき非線型項をもつ1次元波動方程式で得られた解析手法を用いることによって, 非線型性が臨界の場合についても解の最大存在時刻を得るに至った. 更に, 初期値を奇関数と仮定する場合には, 解の時間大域解の存在と非存在を分ける臨界指数が, 3次元空間における半線型波動方程式の臨界指数と同様であることを見出した. これは, 解の特性方向の減衰評価が, 3次元半線型波動方程式のそれと同様なものであることが要因となっている.

今年，我们主要考虑带有加权非线性项的波动方程，这与某个半线性耗散波动方程有关，它是一个带有相对于时间变量衰减的耗散项的一维半波方程。特别地，我们处理了阻尼率为临界状态的情况，其中解的行为类似于热方程或波动方程。在这种情况下，耗散项的系数为。 Wirth (2004) 表明，确定解是热解还是波状解就是这种情况。在这项研究中，我们处理了解的行为是热解的情况，并阐明了解是否存在于时间或全局范围内。不基于指数（三阶非线性）。关于时间上全局解的存在性，请参见 D'Abbicco (2015)，时间全局解的不存在性是由 Wakasugi (2014) 得出的。特别是，对于时间全局解的不存在性，从上述解的最大存在时间的评估，甚至在本研究中。当非线性很关键时，目标是获得解的最大存在时间的最优评估，并且初始值假设某种对称性（奇函数）的情况下，我们观察了解的行为如何变化。因此，我们使用了从带有空间变量的加权非线性项的一维波动方程获得的分析方法，这是去年的研究主题。即使在非线性临界的情况下，我们也能够获得解的最大存在时间。此外，当初始值假设为奇函数时，区分全局解存在与不存在的时间临界指数为,我们发现，临界指数与三维空间中的半线性波动方程相同，这是因为解的特征方向上的衰减的评估与三维半线性波动方程的评估类似。我是线性波动方程。