弾性体方程式系に対する正則性理論と亀裂の進展を記述する特異変分問題の解析

弹性体方程组正则理论及描述裂纹扩展的奇异变分问题分析

• 批准号: 22KJ0176
• 负责人: 佐藤 光汰朗
• 金额: $ 1.41万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2023
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2023-03-08 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ0176/
• 关键词: 関数解析; 発展方程式; 劣微分作用素; 脆性破壊現象

材料の破壊現象，特に亀裂発生現象への現代数学的アプローチはFrancfort-Marigo理論(FM理論)が有名である.FM理論では，亀裂の進展を変分問題，すなわちエネルギー汎関数の最小化問題として定式化し，より現代数学の言葉に則した形に問題を書き換えた.しかし，このような問題に方程式論的立場から接近した研究は多くない. 本研究の扱ういわゆる非線形放物型方程式はAmbrosio-Tortorelliによる正則化汎関数に対する制約条件付きEuler-Lagrange方程式である.ここで最小化の対象は材料の内部エネルギーに対応する汎関数であり，入力変数は材料の破壊状態をスカラー値で表すパラメータ関数，いわゆる相変数(phase field)である.本研究で扱う方程式の特徴として，方程式の解は上述のFM理論において提唱された亀裂進展に関する次の3つの原則，不可逆性,準静的平衡条件，およびエネルギー保存則を満たす点がある.これらは材料に亀裂が進展する条件を表したものであり，破壊現象の不可逆性は相変数の単調性により表現される.さらに，これらの性質に伴って，方程式の時間微分項に退化かつ特異な劣微分作用素が現れる.このことによって，例えば解のアプリオリ評価の導出といった基本的な解析が妨げられるなど，本方程式は既存の他の方程式には現れない大きな障壁を含んでいる.本年度はエネルギー法を基にした時間離散化法を退化作用素を含む方程式に順応させる新しい手法を導入し，解のアプリオリ評価を導くことで方程式の解の存在を示し，さらに解の一意性および与えられたデータに対する連続依存性を証明した.加えて，解の定常極限を定常問題の解として特徴づけるための十分条件を特定した.以上の研究結果は下記の通り日本数学会や国内および国外で開催された研究集会等にて発表しており，また学術論文として発表する準備も進めている.

Francfort-Marigo理论（FM理论）是一种著名的现代数学方法，用于物质断裂现象，尤其是裂纹开始现象。在FM理论中，裂缝的进度被称为一个变异问题，即能量功能的最小化问题，并且该问题被根据现代的数学术语而更改为一种形式。但是，从方程理论的角度来看，没有多少研究能够解决此类问题。本研究中使用的所谓的非线性抛物线方程是Ambrosio-Tortorelli对正则化功能的欧拉 - 拉格朗日方程。 Here, the object of minimization is a functional corresponding to the internal energy of the material, and the input variable is a parameter function that represents the fracture state of the material by scalar values, and the so-called phase variables (phase) The equations covered in this study are characterized by the following three principles regarding crack growth proposed in the FM theory mentioned above: irr​​eversibility, quasi-static equilibrium conditions, and the law of conservation of energy.这些代表了材料进展的条件，而断裂现象的不可逆性由相变的单调性表示。此外，由于这些属性，退化和奇异的亚分化器出现在方程式的时间差项中。这样可以预防基本分析，例如对解决方案的先验评估的推导，与方程相同。今年，我们引入了一种新方法，将基于能量的时间离散化方法调整到包含退化运算符方程的方程，并通过得出对解决方案的先验评估，我们证明了方程的解决方案的存在，并进一步证明了解决方案的独特性以及给定数据的连续依赖性。此外，我们确定了足够的条件来表征溶液的稳态极限作为解决稳态问题的解决方案。上述研究结果已在日本的数学学会和国际和国际上举行的研究会议上提出，也准备作为学术论文介绍。