高次ＨｏｃｈｓｃｈｉｌｄホモロジーとＧｏｏｄｗｉｌｌｉｅ　微積分

高阶 Hochschild 同调和 Goodwillie 演算

基本信息

批准号：
12J10827
负责人：
内藤貴仁
金额：
$ 1.15万
依托单位：
Shinshu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2012
资助国家：
日本
起止时间：
2012 至 2013
项目状态：
已结题

项目摘要

Chas-Sullivanにより創始されたストリングトポロジーの理論により, 有向閉多様体の自由ループ空間のホモロジー上には豊かな代数構造がある事が発見された。更に, Felix-Thomasにより, 有向閉多様体からGorenstein空間にストリングトポロジーの理論が拡張された。ここで, Gorenstein空間とは有向閉多様体を一般化したものであり、他にはコンパクト連結リー群やBorel構成がGorenstein空間となる。Gorenstein空間上のストリングトポロジーの理論は、Gorenstein空間自体扱い辛い空間為か、未だ研究が進展していないのが現状である。そこで、Gorenstein空間上のストリングトポロジーの研究を進める為には, 具体的な計算例からその性質を見出す事が重要である。その試みの足掛かりとして, 分類空間上のストリング作用素に着目した。分類空間上でのストリングトポロジーに関しては、栗林氏とMenichi氏の仕事がある。彼らは、分類空間のループコホモロジーと多項式環のHochschildコホモロジーが代数として同型である事を示した。この結果は、それぞれの代数を具体的に計算する事で証明されている。一方, 私は、有理ホモトピー論とVanden Bergh同型写像を用いて、分類空間のループコホモロジーと多項式環のHochschildコホモロジー環が代数として一致する事を示した。これは彼らの結果の別証明を与えただけではなく、Calabi-Yau代数とストリングトポロジーが関係している事を裏付ける1つの結果である。更に、私は無限次元複素射影空間の一点和のストリング作用素の構造を有理ホモトピー論を用いて完全に決定した。この計算で示された事は、多様体や分類空間の時の様に、ループ積、ループ余積のどちらかが殆ど自明という偏った構造を持つのではなく、共に十分非自明な構造を持つ事が観察された。この研究により、多様体よりもGorenstein空間という広いクラスからストリングトポロジーを捉えた方が良いという証拠を得られる事が出来た。

基于Chas-Sullivan发展的弦拓扑理论，发现有向闭流形自由环空间的同调性上存在丰富的代数结构。此外，Felix-Thomas 将弦拓扑理论从有向闭流形扩展到 Gorenstein 空间。这里，Gorenstein 空间是有向闭流形的推广，其他 Gorenstein 空间包括紧连通李群和 Borel 构造。目前，Gorenstein空间上弦拓扑理论的研究还没有取得进展，这或许是因为Gorenstein空间本身就很难处理。因此，为了推进Gorenstein空间上弦拓扑的研究，从具体的计算实例中发现其性质非常重要。作为这项工作的起点，我们重点关注分类空间上的字符串运算符。关于分类空间上的串拓扑，栗林先生和梅尼奇先生有工作。他们证明分类空间的环上同调和多项式环的 Hochschild 上同调是代数同构的。通过具体计算各个代数来证明这一结果。另一方面，我利用有理同伦理论和范登伯格同构证明了分类空间的环上同调和多项式环的Hochschild上同调环在代数上是一致的。这不仅为他们的结果提供了另一个证明，而且也证实了卡拉比-丘代数和弦拓扑是相关的。此外，我还利用有理同伦理论完全确定了无限维复射影空间中点和弦算子的结构。该计算显示的是，与流形和分类空间的情况一样，它们都具有足够不平凡的结构，而不是具有循环积或循环余积几乎微不足道的有偏差结构。观察到。这项研究提供的证据表明，从更广泛的 Gorenstein 空间类别中理解弦拓扑比从流形中更好。