アレクサンドロフ空間の収束理論と無限次元アレクサンドロフ空間の幾何学

Alexandrov空间收敛理论与无限维Alexandrov空间几何

基本信息

批准号：
12J03673
负责人：
三石史人
金额：
$ 2.32万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2012
资助国家：
日本
起止时间：
2012-04-01 至 2015-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

当該年度は以下の結果を得た. 以下で, アレクサンドロフ空間は有限次元とする.京都大学の山口孝男氏との共同研究において, アレクサンドロフ空間は, 任意に小さいサイズの良い被覆を持ち, その被覆の脈複体はもとの空間にホモトピー同値である事を証明した. ここでいう「良い被覆」とは, それから有限個の集合を選んだ時, その共通部分は空でなければ, 任意の二点を結ぶすべての測地線がそこに含まれるという意味で凸かつ, リプシッツ可縮かつ, 錘に同相なものを指し, 多様体や位相空間の文脈での良い被覆のアレクサンドロフ空間版と言える. 任意のアレクサンドロフ空間の各点のまわりの小さな距離球は, 中心点にリプシッツ可縮である事を前年度に証明したが, 今年度はこの大域版を証明した: 一点からの距離関数が, その点を中心とするある半径の距離球の中で, 中心点を除いて正則ならば, その半径を持った距離球が中心点へリプシッツ可縮である. この証明法は, 一点からの距離関数のみならず一般の semiconcave 関数へと拡張でき, その応用として, ある崩壊しないクラスのアレクサンドロフ空間のモジュライに対して, 良い被覆はある意味で安定である事を証明した.単独の結果として, 以下を得た. アレクサンドロフ空間は, 位相多様体でもなければ, (コ)ホモロジー多様体でもない. しかしながら, いくつかの文献では, それぞれの目的に応じて, 向きの概念が独立に定義されていた. 私は, 更にいくつかの妥当な向きの概念を設けて, すべての概念が同値である事を証明した. 本研究によって, 考えるべき問題がいくつか生じたので, 今後の発展が期待される.

今年，我们得到了以下结果：下面，我们假设 Alexandrov 空间具有有限维数，在我们与京都大学 Takao Yamaguchi 的联合研究中，我们发现 Alexandrov 空间对任意小尺寸具有良好的覆盖性。，证明了覆盖的脉络复形与原始空间同伦等价，这里的“良好覆盖”意味着当选择有限集时，公共部分不为空。亚历山德罗夫空间在包含连接任意两点的所有测地线的意义上是凸的，可利普希茨约简，并且与权重同胚，并且在流形和拓扑空间的背景下具有良好的覆盖范围去年我们证明了一个小距离。任意 Alexandrov 空间中每个点周围的球体都可向其中心进行 Lipschitz 压缩，但今年我们证明了全局版本：如果距某点的距离函数除了以该点为中心的一定半径的距离球内的中心点之外是正则的，则该半径的距离球对于该中心点是Lipschitz可压缩的，该证明方法可以推广。不仅适用于单点的距离函数，也适用于一般的半凹函数，并且作为应用，我们可以证明对于某个非塌缩类 Alexandrov 空间的模，良好的覆盖在某种意义上是稳定的。作为一个结果，我们得到以下结论：亚历山德罗夫空间既不是拓扑也不是（共）同调簇，但是，在一些文献中，方向的概念是根据各自的目的而独立定义的，并证明了这一点。所有概念都是等价的。这项研究提出了几个需要考虑的问题，我期待未来的发展。