Khovanov-Lauda-Rouquier代数の表現論の研究

Khovanov-Lauda-Rouquier代数表示论研究

基本信息

批准号：
11F01016
负责人：
有木進
金额：
$ 0.32万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2012
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11F01016/
关键词：
結晶基底 KLR代数 Fock空間表現型

项目摘要

Affine Lie型の基本表現から定まる巡回箙ヘッケ代数(箙ヘッケ代数はKhovanov-Lauda-Rouquier代数とも呼ばれる)を考える。これは対称群に付随する古典的なヘッケ代数のブロック代数の一般化であるが、この代数に対して次元や表現型を決定できる枠組みを発見し、A^<(2)>_<21>型の基本表現から定まる箙ヘッケ代数に対して具体的に実行した。箙ヘッケ代数は、最高重み可積分加群の圏化を代数的に実現するために導入された代数であり、現在さかんに研究されている。その目的のひとつは研究代表者が1990年代半ばに巡回ヘッケ代数を用いてA^<(1)>_<e-1>型Lie代数の可積分加群の圏化を行った研究の任意のLie型への一般化である。しかし、これらの巡回箙ヘッケ代数についてはほぼ何もわかっておらず、代数の次元もわからない、既約表現の構成も有限型を除けばわからない、というのが現状である。この現状ではAffine Lie型に注目し、とくに古典的なヘッケ代数のブロック代数の自然な一般化である上記巡回箙ヘッケ代数に注目するのが適切であり、本研究では、ソリトン理論に現れるFock空間の理論を援用し、また現在までに得られている可積分加群の圏化理論(Chuang-Rouquier,Kang-Kashiwara)と有限次元代数の表現論とあわせることにより、次元公式や表現型を与えることができることを示した。A^<(2)>_<21>型の場合、shifted Young diagramの組合せ論の言葉で次元が記述でき、また表現型は、A^<(1)>_<e-1>型の場合のe-weightの自然な一般化を用いて簡明に記述できる。これはErdmann-Nakanoによる対称群に付随するヘッケ代数の場合の結果を圏化理論の枠組で一般化したものであり、一般のAffine Lie型に適用できるので、とくにErdmann-Nakanoの結果の別証明を与えることもできる。この結果は下記で公開済みである。Susumu Ariki and Euiyong Park, Representation type of finite quiver Hecke algebras of type A^<(2)>_<21>),arXiv : 1208.0889.また、Parkはその他にもいくつかの結果を得ている。これについては学会発表欄参照のこと。

我们考虑由仿射李类型的基本表示确定的循环箭袋赫克代数（也称为 Khovanov-Lauda-Rouquier 代数）。这是与对称群相关的经典赫克代数的块代数的推广，但是我们发现了一个可以确定该代数的维数和表示类型的框架，并且 A^<(2)>_<21> 的具体实现是对根据类型的基本表示确定的箭袋赫克代数进行了计算。 Hecke代数是为了以代数方式实现最高权可积模的分类而引入的代数，目前正在积极研究。目的之一是从主要研究者在 20 世纪 90 年代中期进行的研究中获得任意结果，该研究使用循环 Hecke 代数对 A^<(1)>_<e-1> 类型李代数的可积模进行分类。是 Lie 类型的推广。然而，人们对这些循环赫克代数几乎一无所知，代数的维数也是未知的，除了有限类型之外，不可约表达式的构造也是未知的。在目前的情况下，仿射适当关注李型，尤其是上面提到的循环赫克代数，它是经典赫克代数的块代数的自然推广。在本研究中，我们将使用孤子中出现的福克空间理论现在再说一遍理论。通过将先前获得的可积模范畴论（Chuang-Rouquier、Kang-Kashiwara）与有限维代数的表示论相结合，我们证明了给出维数公式和表示是可能的。在 A^<(2)>_<21> 类型的情况下，维度可以用移位年轻图的组合来描述，并且表达式类型可以在 A^<(1)>_ 的情况下描述<e-1> 类型可以使用 e-权重的自然概括来轻松描述。这是 Erdmann-Nakano 对范畴论框架中附加到对称群的 Hecke 代数情况的结果的推广，并且可以应用于一般的仿射李类型，因此它作为 Erdmann-Nakano 的替代证明特别有用中野的结果也可以。结果已发布如下。 Susumu Ariki 和 Euiyong Park，A^<(2)>_<21>) 型有限箭袋 Hecke 代数的表示类型，arXiv : 1208.0889.Park 还获得了一些其他结果。关于这一点，请参阅会议演示部分。