時間発展型積分微分方程式の変分解析

时间演化积分微分方程的变分分析

• 批准号: 22K03395
• 负责人: 山浦 義彦
• 金额: $ 2.16万
• 依托单位: Nihon University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03395/
• 关键词: 分数階ソボレフ関数; 二重非線形偏微分方程式; 分数階放物型方程式; エネルギー勾配流; 変分解析

時間変数を含む放物型、あるいは、双曲型の偏微分方程式を関数空間上の曲線ととらえ、時間変化に伴い、関数空間上のエネルギー汎関数の値が最適に減少する曲線を見つける問題として定式化される。エネルギー汎関数は変分学で扱われる概念であり、そこには本来時間変数が含まれない。従って、これを時間発展問題に適用するためには、時間微分の構造を考慮する必要がある。その方法論としてイタリア学派によって構築された２つの方法が知られている。一方は最大勾配曲線（Curves of maximal slope）法[CMS法]であり、他方は離散モース流法（Discrete Morse flow）法[DMF法]である。前者のCMS法は、十分小さい範囲で連続的に変化する半径の閉球内でその都度エネルギー汎関数の最小化関数を求め、それらをつなぐことにより近似曲線を構成し、半径の上限を０に限りなく近づけることよって目的の解曲線を構成する方法である。この方法では、汎関数の勾配としてスロープという概念が導入され、これがノルム最小の勾配ベクトルと一致するという正則性条件が解曲線構成のための十分条件になる。後者のDMF法は、偏微分方程式の時間変数を離散化することにより再帰的に定義されるエネルギー汎関数族を考え、その都度得られるエネルギー最小化関数の族を用いて近似解を構成し、近似パラメータを０に限りなく近づけることにより近似解を構成する手法である。特に、単に弱解を構成する方法として用いられるだけでなく、近似極限移行の際に使われる近似パラメータに寄らない一様評価を近似解の族に対して得る点にその特徴がある。今年度は、DMF 法によってその弱解が構成された非局所方程式に対する、非負解の体積保存問題とCMS法による非局所方程式の弱解構成に取り組んだ。特に前者は論文として投稿中である。後者は研究初段階に位置づけられる。

包含时间变量的抛物线或双曲偏微分方程将其视为功能空间中的曲线，并作为问题公式，其中随着时间的变化，功能空间中能量功能的值可最佳降低。能量功能是在各种科学中处理的概念，并且不包括自然界的时间变量。因此，为了将其应用于时间演变问题，有必要考虑时间衍生物的结构。两种方法称为意大利学校构建的方法。一个是最大斜率方法（CMS方法）的曲线，另一个是离散的摩尔斯流量法（DMF方法）。前CMS方法是一种方法，在该方法中，每次在封闭的球体内每次获得能量功能的最小化函数，半径是在足够小的范围内连续变化的，并且通过连接它们，形成了拟合曲线，并且半径的上限可尽可能接近近距离，从而使零近距离接近，从而构建所需的溶液曲线。在这种方法中，将斜率的概念引入为功能的梯度，并且与最小规范的梯度向量相吻合的规律性条件足以形成解决方案曲线的条件。后者的DMF方法是一种技术，其中一组能量功能被视为通过离散分离部分微分方程的时间变量来递归定义，并使用每次获得的能量最小化函数的家族构建近似解决方案，然后将近似参数带到尽可能接近的参数以形成近似解决方案。此功能是，它不仅被用作构建弱解决方案的方法，而且还为近似解决方案的家族提供了统一的评估，这些近似解决方案不在过渡近似限制时所使用的近似参数。今年，我们解决了非本地方程的非负溶液的体积保护问题，这些方程是通过DMF方法构建的，其弱解的溶液以及使用CMS方法的非本地方程的弱解。特别是，前者目前正在作为论文提交。后者位于研究阶段的开始。