時間発展型積分微分方程式の変分解析

时间演化积分微分方程的变分分析

• 批准号: 22K03395
• 负责人: 山浦 義彦
• 金额: $ 2.16万
• 依托单位: Nihon University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03395/
• 关键词: 分数階ソボレフ関数; 二重非線形偏微分方程式; 分数階放物型方程式; エネルギー勾配流; 変分解析

時間変数を含む放物型、あるいは、双曲型の偏微分方程式を関数空間上の曲線ととらえ、時間変化に伴い、関数空間上のエネルギー汎関数の値が最適に減少する曲線を見つける問題として定式化される。エネルギー汎関数は変分学で扱われる概念であり、そこには本来時間変数が含まれない。従って、これを時間発展問題に適用するためには、時間微分の構造を考慮する必要がある。その方法論としてイタリア学派によって構築された２つの方法が知られている。一方は最大勾配曲線（Curves of maximal slope）法[CMS法]であり、他方は離散モース流法（Discrete Morse flow）法[DMF法]である。前者のCMS法は、十分小さい範囲で連続的に変化する半径の閉球内でその都度エネルギー汎関数の最小化関数を求め、それらをつなぐことにより近似曲線を構成し、半径の上限を０に限りなく近づけることよって目的の解曲線を構成する方法である。この方法では、汎関数の勾配としてスロープという概念が導入され、これがノルム最小の勾配ベクトルと一致するという正則性条件が解曲線構成のための十分条件になる。後者のDMF法は、偏微分方程式の時間変数を離散化することにより再帰的に定義されるエネルギー汎関数族を考え、その都度得られるエネルギー最小化関数の族を用いて近似解を構成し、近似パラメータを０に限りなく近づけることにより近似解を構成する手法である。特に、単に弱解を構成する方法として用いられるだけでなく、近似極限移行の際に使われる近似パラメータに寄らない一様評価を近似解の族に対して得る点にその特徴がある。今年度は、DMF 法によってその弱解が構成された非局所方程式に対する、非負解の体積保存問題とCMS法による非局所方程式の弱解構成に取り組んだ。特に前者は論文として投稿中である。後者は研究初段階に位置づけられる。

包含时间变量的抛物线或双曲偏微分方程被视为函数空间上的曲线，问题是找到一条随着时间变化最优地减小函数空间上的能量泛函的值的曲线。能量泛函是变分理论中处理的概念，它最初并不包含时间变量。因此，为了将其应用于时间演化问题，有必要考虑时间微分的结构。意大利学派开发了两种已知的方法。一种是最大斜率曲线法[CMS法]，另一种是离散莫尔斯流法[DMF法]。前一种CMS方法是在一个半径在足够小的范围内连续变化的封闭球体内，每次计算能量泛函的最小化函数，将它们连接起来构造一条近似曲线，并将半径的上限设置为0。这是一种通过尽可能接近来构建所需解曲线的方法。该方法引入斜率的概念作为泛函的梯度，斜率与范数最小的梯度向量匹配的规律性条件成为构造解曲线的充分条件。后一种DMF方法考虑通过离散化偏微分方程的时间变量来递归定义的能量函数族，并使用每次获得的能量最小化函数族来构造近似解。这是一种通过以下方式构造近似解的方法。使近似参数尽可能接近0。特别是，它的特点是不仅用作简单构造弱解的方法，而且可以获得与向近似极限移动时所使用的近似参数无关的一系列近似解的统一评估。今年，我们研究了使用DMF方法构造弱解的非局部方程的非负解的体积守恒问题，以及使用CMS方法构造非局部方程弱解的问题。特别是，前者目前正在作为论文提交。后者定位于研究的初级阶段。