Relations between prehomogeneous zeta functions and automorphic forms

前齐次 zeta 函数与自同构形式之间的关系

• 批准号: 22K03251
• 负责人: 杉山 和成
• 金额: $ 2.41万
• 依托单位: Chiba Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2027-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03251/
• 关键词: 概均質ベクトル空間; 概均質ゼータ関数; 保型形式

ポアンカレ上半平面上で定義されたウェイト0のマースのカスプ形式の周期を係数に含む、2次対称行列の空間に付随する概均質ゼータ関数に対してヴェイユ型の逆定理を適用して重さ1/2のマース形式を構成した。これにより、合同部分群に対する新谷-カトック-サルナック対応を証明したということになるが、それに関する論文が出版された。この結果は、本研究課題を遂行する上で最も基本的なものである。さらに、不定値2次形式に対するジーゲル・ゼータ関数に対して、ディリクレ指標でひねったL関数の解析的性質（解析接続、関数等式）を証明し、それに対して逆定理を適用することでマース形式を構成した。実は、ジーゲル自身が1938年の論文の中で適切な逆定理を用いるとゼータ関数から保型形式を構成できるであろうという趣旨のことを書いていて、今回の計算はその方針に従ったものといえる。（1938年の時点では、ヴェイユの逆定理についての論文はなかった。）また、符号についてのある条件の下では、ジーゲル・ゼータ関数から正則保型形式が構成できることを確かめたが、これはジーゲル自身が1948年の論文の中で微分作用素の計算を使って証明したことと整合性がある。（1948年の論文については、伊吹山知義氏からご教示いただいた。）ジーゲルのゼータ関数に関する結果についてはプレプリントをarXivに公開した。ジーゲルのゼータ関数の留数計算については論文が少ないので、今回のプレプリントでは細部を省略せずに書いたが、それがこの分野の研究者にとって役立つものになることを期待している。

我们将韦尔型逆定理应用于与二次对称矩阵空间相关的近齐次 zeta 函数，该矩阵的系数包括在庞加莱构造的 1/2 火星格式上定义的权重为 0 的火星尖点形式的周期。 。这证明了全等子群的 Shintani-Katok-Sarnak 对应关系，并且相关论文已发表。这一成果是开展本研究项目的最根本的成果。此外，对于不定二次形式的Siegel-zeta函数，我们证明了由狄利克雷指数扭曲的L函数的解析性质（解析连续、函数等式），并通过对其应用逆定理，Mars配置了格式。事实上，西格尔本人在 1938 年的一篇论文中写道，通过使用适当的逆定理，可以从 zeta 函数构造自守形式，并且可以说目前的计算是基于该策略的。 （截至 1938 年，还没有关于韦伊逆定理的论文。）我们还证实，在有关符号的某些条件下，可以从西格尔 zeta 函数构造全纯形式；这与他自己在 1948 年论文中证明的一致。使用微分算子计算。 （1948 年的论文由 Tomoyoshi Ibukiyama 先生讲授。）有关西格尔 zeta 函数结果的预印本已发表在 arXiv 上。关于西格尔zeta函数留数计算的论文很少，所以我写了这篇预印本，不遗漏细节，希望对这个领域的研究人员有所帮助。

项目成果

Shintani correspondence for Maass forms of level $N$ and prehomogeneous zeta functions

$N$ 级 Maass 形式和前齐次 zeta 函数的 Shintani 对应关系

• DOI: 10.3792/pjaa.98.008
• 发表时间: 2022
• 期刊: Proceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences
• 作者: Sugiyama Kazunari

The modularity of Siegel's zeta functions

西格尔 zeta 函数的模块化

• 发表时间: 2023
• 作者: Sugiyama Kazunari;Kazunari Sugiyama
• 通讯作者: Kazunari Sugiyama