Research on singularities of algebraic varieties

代数簇的奇异性研究

• 批准号: 22K03224
• 负责人: 石井 志保子
• 金额: $ 2.75万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22K03224/
• 关键词: 特異点; minimal log discrepancy; 正標数の双有理幾何学; 弧空間; log canonical threshold

Smooth variety とその上の coherent ideals の実指数を許した形式的積の対のminimal log discrepancy (mld と略記)のなす集合のいろいろな性質：①指数を固定した時の有限性，②指数がDCC を満たす集合を動く場合mld の就業はACC を満たす（ ACC 予想）③指数を固定するとmld をcompute する因子を得るためのblow up の回数は有界である．(MN予想）など，双有理幾何学において重要な問題である．①については基礎体の標数が０の場合は証明されているが，②や③は基礎体の標数が０の場合でも未解決である．しかし標数が０の場合は特異点解消や，Bertini の定理，小平型のコホモロジー消滅定理などがあるため，比較的優しいと予想されている．本研究ではこれらの問題を正標数の場合に考える．「標数０の場合にこれらの性質が成立すれば自動的に正標数の場合も成立する」という構造を目指している．現在のところ，smooth variety とその上のcoherent ``fractional ideals" の実指数を許した形式的積の対のminimal log discrepancyについて標数０で①②③が成立すれば正標数の smooth variety とその上のcoherent idealsの対に対して①②③が示されるところまで得られた．これらの結果を，2021年フランスのLuminy 研究所，2022年米国のJohns Hopkins 大学の研究集会で発表した．また2023年3月に東京大学においてMini workshop on singularities を主催し，特異点の専門家たちと研究交流し最新の成果についての情報交換をした．

由一对形式乘积的最小对数差异（缩写为 mld）形成的集合的各种属性，允许其上具有平滑变化和相干理想的实数指数：（1）指数固定时的有限性，（2）指数为 DCC如果移动满足 的集合，则mld的使用满足ACC（ACC猜想） ③当指数固定时，爆炸以获得计算mld的因子次数是有限制的。 （MN猜想）等双有理几何中的重要问题。对于①，当基本场的特征为0时已被证明，但即使基本场的特征为0，②和③也未解决。然而，当特征为 0 时，由于奇点解析、贝尔蒂尼定理、小平型上同调消失定理等，预期会相对平缓。在本研究中，我们在积极特征的情况下考虑这些问题。我们的目标是建立一种结构，其中“如果这些属性在特征为 0 的情况下成立，那么它们在特征为正的情况下也自动成立。”目前，如果（1）、（2）和（3）对于一对正式乘积的最小对数差异保持特征 0，这允许平滑簇的实数指数及其连贯的“分数理想”，那么积极特征的平滑变化及其上部我们得到了这些结果，以至于对于一对相干理想而言，显示了①②③。该研究所于2022年在美国约翰·霍普金斯大学的研究会议上做了报告。另外，2023年3月，我们将在东京大学举办奇点迷你研讨会，与奇点专家和科学家进行研究交流。我们交换了有关最新结果的信息。

项目成果

Log discrepancies of fractional ideals on a smooth varieties

光滑品种上分数理想的对数差异

• 发表时间: 2022
• 作者: Akinari Hoshi;Aiichi Yamasaki;Shihoko Ishii
• 通讯作者: Shihoko Ishii

Liftings of ideals in positive characteristic to characteristic 0

将正特征中的理想提升到特征 0

• 发表时间: 2022
• 作者: S. Naito;F. Nomoto;and D. Sagaki;山根 宏之;Masato Kuwata;Jae-Hoon Kwon and Masato Okado;Takuya Matsumoto;Shihoko Ishii
• 通讯作者: Shihoko Ishii

Singularities, the space of arcs and applications to birational geometry

奇点、弧空间及其在双有理几何中的应用

• 发表时间: 2023
• 期刊: Handbook of Geometry and Topology of Singularities
• 作者: Shihoko Ishii