Geometry of cluster modular groups

集群模块组的几何形状

• 批准号: 18J13304
• 负责人: 石橋 典
• 金额: $ 0.96万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2018
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2018-04-25 至 2020-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-18J13304/
• 关键词: Teichmuller-Thurston理論; 変異ループの擬Anosov性; 代数的エントロピーの決定; Weyl群のクラスター実現; 高次写像類群の構造; 高次Teichmuller空間の対称性

本研究ではクラスター代数における自己同型群であり曲面の写像類群の一般化でもあるクラスターモジュラー群について、そのクラスターアンサンブルへの作用の力学系的性質について研究した。曲面の写像類群に関するTeichmuller-Thurston理論のクラスター代数への拡張は研究計画段階からの主な指針であったが、私は狩野隼輔氏との研究討議を通じてこれを部分的に遂行し、擬Anosov性の一般化としてクラスターモジュラー群の元（＝変異ループ）について「符号安定性」という条件を導入した。符号安定な変異ループの力学系的性質を精査することにより、擬Anosov写像類の伸縮因子と同様に「クラスター伸縮因子」と呼ばれる代数的整数が定義でき、さらにはこれの対数を用いてクラスター変換の代数的エントロピーが評価できることなどを示した。これは擬Anosov写像類に対し、その曲面への作用の位相的エントロピーを伸縮因子の対数で与えるThurstonの古典的な定理のクラスター類似である。クラスター変換の代数的エントロピーは変異ループのクラスターアンサンブルへの作用における基本的な力学系的特徴量であり、またその値が0であるか否かは離散可積分系の文脈において重要な問題である。曲面の写像類から定まる変異ループについては擬Anosov性と「一様な」符号安定性が同値であることが分かっており、現在論文を執筆中である。この結果により私が以前から研究してきた「Nielsen-Thurston分類のクラスター代数化」は精密化され、符号安定性が擬Anosov性の一般化としてよりふさわしいものであることが分かった。以上の研究により、Teichmuller-Thurston理論の一般化としてのクラスターモジュラー群の理論は深化し、曲面の写像類群に対する新たな洞察をもたらすとともに離散可積分系との新たな関連も見出されることとなった。

在这项研究中，我们研究了集群模块组的动力学系统特性，簇模块基团是群集代数中表面映射基团的概括。 Teichmuller-Thurston理论在映射的表面上扩展到集群代数是研究计划阶段的主要指南，但我通过与Kano Hayatosuke的研究讨论进行了部分指南，从而引入了pssemulation of Pseullization of Pseudo udoyosovity的origins（= mutinate groups）的“符号稳定性”的条件。通过检查符号稳定突变回路的动力系统性能，我们表明，可以定义称为“群集拉伸因子”的伪anosov映射的拉伸因子，代数整数，并且可以使用此次数来评估群集转化的代数熵。对于伪anosov地图，这是瑟斯顿经典定理的群集类比，它在拉伸因子的对数中给出了作用在其表面上的拓扑熵。集群转换的代数熵是突变循环对集群集合的影响的基本动力学特征，以及在离散集成系统的背景下，其值是否为0是一个重要问题。已经发现，假洋植物和“统一”代码稳定性对于由表面映射确定的突变循环等效，我目前正在撰写论文。该结果表明，我已经研究了一段时间的“ Nielsen-Thurston分类的群集代数化”已经进行了完善，并且代码稳定性更合适，因为伪anosov属性的概括。上述研究加深了群集模块化群体的理论，作为Teichmuller-Thurston理论的概括，为曲面表面的地图类别提供了新的见解，并且还发现了与离散集成系统的新关联。

项目成果

Presentations of Cluster Modular Groups and Generation by Cluster Dehn Twists

Cluster Dehn Twists 介绍集群模块化组和生成

• DOI: 10.3842/sigma.2020.025
• 发表时间: 2020
• 期刊: Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA)
• 作者: 朴慧原;Hyewon Park;朴慧原;朴慧原;大関 綾;大関 綾;大関 綾;大関 綾;Tsukasa Ishibashi
• 通讯作者: Tsukasa Ishibashi

Cluster realizations of Coxeter groups and higher Teichmuller theory

Coxeter 群的簇实现和高等 Teichmuller 理论

• 发表时间: 2018
• 作者: Tsukasa Ishibashi

Cluster realizations of Coxeter groups and their relations with higher Teichmuller spaces

Coxeter 群的簇实现及其与更高 Teichmuller 空间的关系

• 发表时间: 2018
• 作者: Okagawa Tomohiro;Konnai Satoru;Nishimori Asami;Maekawa Naoya;Goto Shinya;Ikebuchi Ryoyo;Kohara Junko;Suzuki Yasuhiko;Yamada Shinji;Kato Yukinari;Murata Shiro;Ohashi Kazuhiko;Tsukasa Ishibashi
• 通讯作者: Tsukasa Ishibashi

On a Nielsen-Thurston classification theory for cluster modular groups

簇模群的 Nielsen-Thurston 分类理论

• DOI: 10.5802/aif.3250
• 发表时间: 2019
• 期刊: Annales de l'Institut Fourier
• 作者: 朴慧原;Hyewon Park;朴慧原;朴慧原;大関 綾;大関 綾;大関 綾;大関 綾;Tsukasa Ishibashi;Tsukasa Ishibashi
• 通讯作者: Tsukasa Ishibashi

Cluster Dehn twists in cluster modular groups

Cluster Dehn 在集群模块化组中扭曲

• 发表时间: 2019
• 作者: Sajiki Yamato;Konnai Satoru;Okagawa Tomohiro;Nishimori Asami;Maekawa Naoya;Goto Shinya;Watari Kei;Minato Erina;Kobayashi Atsushi;et al.;Tsukasa Ishibashi
• 通讯作者: Tsukasa Ishibashi