Einstein metrics and Ricci flow on singular spaces, and study of the Yamabe invariant

奇异空间上的爱因斯坦度量和利玛窦流以及山边不变量的研究

基本信息

批准号：
18H01117
负责人：
芥川一雄
金额：
$ 10.4万
依托单位：
Chuo University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-01 至 2023-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

研究課題は特異多様体上の山辺計量およびそれを応用した山辺不変量の研究であった．得られた成果は，共同研究者のI.Mondelloとの下記の研究である：(1)　特異Einstein多様体として典型例であるedge-cone球面(S^n, h_a)を扱い，その上の山辺の問題を考えた．ここで，h_aはS^n上のedge-cone angleが2πaの標準定曲率1計量を表す．まず0 < a < 1の場合，小畠型の定理，すなわちh_aに共形的な定スカラー曲率計量は，(S^n, h_a)の特異集合S^{n-2}を保つS^nのある共形変換によるh_aの引き戻しとなることを示した．さらにa > 2の場合には，h_aに共形的なedge-cone山辺計量は存在しないことを示した．この非存在定理の証明には様々な結果が使われるが，特に特異空間上の被覆空間の山辺定数に関するAubinの補題と定スカラ―曲率特異計量に関する正則性定理という我々が開発した結果が使われる．この様な特異山辺計量の非存在定理は，先ずViaclovskyによってorbifoldの場合に得られたが，我々の例は2番目の例となる．彼の例は特異集合の次元が最小次元のゼロで，我々の例は特異集合の次元が最大次元のn-2となり，対照的な結果である．(2)　山辺計量・山辺不変量に関する諸問題を「幾何解析の問題」としてまとめ，RIMS Kokyurokuとして出版された．(3)　連携研究者の濱中氏と境界付きコンパクト多様体上のRicci flowの初期値問題とその幾何学的応用の研究で進展があった．

研究主题是Yamabe关于单数歧管的指标和对使用它们的Yamabe不变性研究的研究。获得的结果是与合作者I. Mondello的研究：（1）我们处理边缘球形表面（S^n，h_a），这是单一爱因斯坦歧管的典型示例，并考虑了上面的Yamabe问题。在这里，H_A代表2πa的s^n的标准常数曲率1米。首先，当0 <a <1时，我们表明obata型定理（即恒定标量曲率仪表符合H_A）是由于S^n的共形转换而导致H_A的回调，该转换维持（s^n，h_a）的单数S^{n-2}。此外，在A> 2的情况下，显示H_A中没有共形边缘 - Yamabe度量。各种结果用于证明这种不存在的定理，但我们已经开发出来，尤其是Aubin的引理和规则定理，用于奇异空间上覆盖空间的Yamabe常数和恒定的标量曲率奇异测光。在Orbifold的情况下，Viaclovsky首先获得了奇异Yamabe度量的这种不存在定理，但我们的示例是第二个示例。他的例子是，奇异集的尺寸是最小的尺寸的零，我们的示例是一个对比的结果，其中奇异集的尺寸在最大的维度中为N-2。（2）将与Yamabe测量和Yamabe不变性有关的各种问题总结为“几何分析问题”，并以RIMS Kokyuruku出版。（3）与Hamanaka先生合作取得了进展，以及他对RICCI流动的最初价值问题的研究及其几何应用。