高余次元の平均曲率流と特異点

高维平均曲率流和奇点

• 批准号: 15J03957
• 负责人: 國川 慶太
• 金额: $ 0.32万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2015
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2015-04-24 至 2016-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15J03957/
• 关键词: 平均曲率流; 特異点; トランスレーティングソリトン

余次元の高い部分多様体が平均曲率流の下でどのように振舞うかを調べるため平成２７年度（採用1年度目）は高余次元の平均曲率流の特異点の研究を行った。研究成果：トランスレーティングソリトンは，平均曲率流のII型特異点のモデルとなっており，特にその幾何学的特徴を調べることは重要である。しかし，余次元が高い場合の研究はこれまでほとんどなされてこなかった。そこでまずは一般余次元のトランスレーティングソリトンに関する非存在定理を示した。また一般に，II型特異点のモデルとしてはトランスレーティングソリトンよりも広いクラスとして永久解がある。調和写像に関する熱流の方法を利用することにより，永久解に関する非存在定理も示した。この方法をさらに応用し，ラグランジュ永久解に関しても非存在を示した。これらの非存在定理により，II型特異点の形状としてはありえないものを排除することができた。一方，非存在とは逆に，一般余次元のトランスレーティングソリトンの具体例の構成も行った。それまで一般余次元のトランスレーティングソリトンの例はほとんど知られていなかったため，イメージが掴みづらいものであった。この具体例の構成は，対称性の高い簡単な場合ではあるが，一般余次元のトランスレーティングソリトンの形状を把握する手がかりを与えている。さらに，ある曲率の条件下において，一般余次元のトランスレーティングソリトンの特徴づけを与える分裂定理を得た。本年度の研究により余次元の高い平均曲率流のII型特異点の形状に関してはその特徴をかなり把握することができた。しかし，II型特異点そのものの形状を把握することと，実際の平均曲率流の下でのII型特異点の発生メカニズムを知ることの間には未だにギャップがある。今後はII型特異点の形状の特徴を，もとの平均曲率流の情報と結びつける研究が必要になると考えられる。

在2015年（采用第一年），我们对高维平均曲率曲率流动中高维平均曲率流中高维平均曲率流的奇异性进行了研究。研究结果：取消孤子是平均曲率流的II型奇异性的模型，研究其几何特征尤其重要。但是，在尺寸较高的情况下，很少进行研究。首先，我们介绍了一般共同维度的拆卸孤子的不存在定理。通常，II型奇点的模型具有永久的解决方案，作为类别比取消孤子的较宽。通过利用热流法进行谐波映射，还显示了永久溶液的不存在定理。进一步应用了此方法，也不存在Lagrange永久解决方案。这些不存在的定理使我们能够消除II型奇异性的不太可能形状。另一方面，与不存在相反，还构建了一般共同维度的拆卸孤子的具体示例。在此之前，已知几乎没有越过孤子子的示例，因此很难掌握图像。尽管此示例的构造是具有高对称性的简单案例，但它提供了理解一般的共同维度中越来的孤子形状的线索。此外，我们获得了一个分裂定理，从而在某些曲率条件下赋予了一般共同维度的一般共同维度的拆卸孤子的表征。今年的研究使我们能够了解具有较高平均曲率流动流的II奇异性的特征。但是，了解II型奇异性本身的形状与了解II型奇异性在实际平均曲率流下发生的机制之间仍然存在差距。人们认为，将来，研究将需要将II型单数点形状的特征与有关原始平均曲率流的信息联系起来。

项目成果

Bernstein-type theorem of translating solitons in arbitrary codimension with flat normal bundle

• DOI: 10.1007/s00526-015-0826-1
• 发表时间: 2015-01
• 期刊: Calculus of Variations and Partial Differential Equations
• 影响因子: 2.1
• 作者: Keita Kunikawa

Translating Solitons of the Mean Curvature Flow in Arbitrary Codimension

• 发表时间: 2015
• 作者: Keita Kunikawa

A Bernstein type theorem of ancient solutions to the mean curvature flow

• DOI: 10.1090/proc/12802
• 发表时间: 2015-04
• 作者: Keita Kunikawa

一般余次元平均曲率流のトランスレーティングソリトン

一般共维平均曲率流的平移孤子

• 发表时间: 2015
• 作者: Matsuya;Ryosuke; Ushiyama;Junichi; Kasuga;Shoko; Ushiba Junichi;國川慶太;國川慶太;Keita Kunikawa;國川慶太
• 通讯作者: 國川慶太

一般余次元トランスレーティングソリトンの分裂定理

一般共维平移孤子的分裂定理

• 发表时间: 2015
• 作者: Matsuya;Ryosuke; Ushiyama;Junichi; Kasuga;Shoko; Ushiba Junichi;國川慶太;國川慶太
• 通讯作者: 國川慶太