埋め込みの空間、微分同相群の分類空間の位相幾何学

嵌入空间、微分同胚群分类空间的拓扑

• 批准号: 08J01880
• 负责人: 渡邉 忠之
• 金额: $ 0.51万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2008
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2008 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08J01880/
• 关键词: 微分同相群; 埋め込みの空間; Morse理論; Morseホモトピー理論; 摂動的Chern-Simons理論; 特性類; 配置空間; ファインマン図

多様体の微分同相群の(有理)ホモトピー群の構造を決定するという目的に対し、「研究実施計画」では、多様体族のMorse理論(多様体上の滑らかな関数の臨界点の様子から、多様体の情報を引き出す枠組み)を用いて、微分同相群のホモトピー群の構造を研究すること、特にホモトピー群を生成する情報を離散的なデータで完全に記述することを計画した。これに対し、次の結果を得ることができた。1.深谷氏のMorseホモトピー理論(多様体上の複数の関数を同時に考え、それに伴うグラフ上のフローを数えることにより、3次元多様体の不変量を構成する枠組み)の適当な高次元化を与え、多様体族(あるいはファイバー束)の不変量である特性類を構成した。これは上記の目的に直接有効な結果というわけではないが、深谷氏の不変量が摂動的Chern-Simons理論の不変量(Witten不変量の「摂動展開」)に一致しているとの予想の高次元版:Kontsevichの「摂動的」特性類と我々のMorseホモトピー理論的特性類が一致する、が正しければ、Morse理論及びMorseホモトピー理論によって実に豊富な情報を捕まえることができる事が示され、Morse理論によるアプローチの有効性が示されることになる。2.1の結果を踏まえ、実際に5次元球面の微分同相群の基本群(π1(Diff(S^5))の構造を、Morse理論を使って研究した。具体的には、π1(Diff(S^5))=π2(BDiffS^5))の「非線形部分」(臨界値のグラフが自明になるような関数族が取れる元のなす部分群)が、いくつかの2次元球面の枠付埋め込みの空間のπ2で生成されることを示した。埋め込みの空間の有理ホモトピー群の計算はホモトピー論の問題であり、Goodwillie-Weiss等により計算の枠組みが提案されている。π1(Diff(S^5))を特徴付ける完全な関係式を与えることは今後の課題である。

为了确定流形微分同胚群的（有理）同伦群的结构，“研究计划”以流形族莫尔斯理论为基础（从流形上光滑函数临界点的出现，我们计划使用提取流形信息的框架来研究微分同胚群的同伦群的结构，特别是使用离散数据完整地描述生成同伦群的信息。相比之下，我们能够获得以下结果。 1.适当增加深谷先生的莫尔斯同伦理论（通过同时考虑流形上的多个函数并计算图上的相关流来构造三维流形的不变量的框架）的维数，我们构造了一类性质。它们是流形族（或纤维束）的不变量。虽然这对于上述目的来说并不是直接有效的结果，但它支持了深谷先生的不变量与微扰陈-西蒙斯理论的不变量相匹配的猜想（维滕不变量的“微扰展开”：Kontsevich的高维版本）。 “扰动”属性类别和如果我们的莫尔斯同伦理论性质确实匹配，那么将表明莫尔斯理论和莫尔斯同伦理论能够捕获真正丰富的信息，并且将证明基于莫尔斯理论的方法的有效性。基于2.1的结果，我们实际上利用莫尔斯理论研究了5维球面微分同胚群的基本群（π1(Diff(S^5))的结构。具体来说，我们研究了基本群的结构5维球面微分同胚群的(π1(Diff(S^5))。^5))=π2( BDiffS^5)) 的“非线性部分”（由其临界值图变得微不足道的函数族组成的元素子组）是在某些二维球体的框架嵌入空间中的 π2 中生成的。嵌入空间中有理同伦群的计算是同伦理论的一个问题，Goodwillie-Weiss 等人提出了一个计算框架。提供表征 π1(Diff(S^5)) 的完整关系表达式是未来的挑战。

项目成果

On Kontsevich's characteristic classes for higher dimensional sphere bundles I : the simplest class

关于高维球丛 I 的 Kontsevich 特征类：最简单的类

• 作者: Tadayuki Watanabe