自己相似タイルと数系タイルの位相的構造とピゾ予想

自相似瓦片和算术瓦片的拓扑结构和Pizo猜想

基本信息

批准号：
08F08714
负责人：
秋山茂樹
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Niigata University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2008
资助国家：
日本
起止时间：
2008 至 2010
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08F08714/
关键词：
フラクタルタイル張りオートマトン結晶群数系 Pisot数

项目摘要

フラクタルタイルの境界の標準的なパラメータ付け、すなわち曲線として記述について継続的に研究した。このパラメータ付けは接触オートマトンによる小さいオートマトンによる表示に適切な順序を導入することで行われ、接触オートマトンが強連結グラフを与えるときはそのような順序付けにより標準的な数系を対応させることができることを大きなタイル張りのクラスで確認されている。またそのようなパラメータ付けが標準的であることを示すのにも成功した。これにはHe-Lauらの導入した新しい形のHausdorff測度を用いた。このパラメータ付けをRauzy fractalなどの複数のタイルによる非周期的なタイル張りに拡張する研究、およびパラメータ付けによるタイル内部の連結成分の位相構造の研究に着手している。とくに後者ではフラクタル境界での回転数の定義をすることが重要で現在試験的な計算を行っている。実際にHeighway dragonと呼ばれるフラクタルタイルは全体として連結であるが、内点の連結成分は有限個であり切断点を通じて連結成分の閉包は数珠上に繋がっていることが知られている。この結果は今回得られたパラメータ付けにより直接確認することができる。一方結晶群の対称性をもつタイル張りについてJ.Luo,J.Thuswaldnerらと研究を進めた。タイルの内点集合の連結成分の記述に関しては、結果を精密化し証明を簡易化することに成功した。

我们继续研究分形瓦片边界的标准参数化，即将它们描述为曲线。这种参数化是通过联系自动机在小型自动机的表示中引入适当的排序来完成的，并且表明，当联系自动机给出强连通图时，这种排序允许标准数字系统在大平铺中得到确认。类。我们还成功地证明了这种参数化是标准的。为此，我们使用了 He-Lau 等人引入的 Hausdorff 测度的新形式。我们已经开始研究将这种参数化扩展到具有多个瓦片的非周期瓦片，例如 Rauzy 分形，并研究使用参数化的瓦片内连通分量的拓扑结构。特别是在后一种情况下，定义分形边界处的旋转速度非常重要，我们目前正在进行实验计算。事实上，名为 Heighway Dragon 的分形瓦片是整体相连的，但已知内部点处的连通分量是有限个，而连通分量的闭合通过切割点连接成一串念珠。这个结果可以通过本次得到的参数化直接得到证实。另一方面，我与J. Luo、J. Suchwaldner等人进行了关于晶群对称性平铺的研究。关于瓦片内点集连通分量的描述，我们成功地细化了结果并简化了证明。