確率反応拡散方程式に対する鋭敏な界面極限の研究

随机反应扩散方程敏感界面极限的研究

• 批准号: 14J08602
• 负责人: 李 嘉衣
• 金额: $ 1.79万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2014
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2014-04-25 至 2017-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14J08602/
• 关键词: 反応拡散; アレン・カーン; 確率偏微分方程式; ディリクレ形式; 数値解析; 反応拡散方程式; アレン・カーン方程式; モスコ収束; 反射壁ブラウン運動; 鋭敏な界面極限; 界面ダイナミクス; 平均曲率流

特任研究員としての三年間、確率アレン・カーン方程式に対する鋭敏な界面極限に関する研究を行った。アレン・カーン方程式とは、十分小さいε>0によりパラメータ付けされた双安定な反応項を持つ反応拡散方程式のことであり、相転移現象、界面モデルなどの物理現象を記述する。このパラメータは界面の幅に関係している。興味の対象は界面の幅が限りなく小さくなり界面の形状が鋭敏となった時の解の挙動である。この極限を鋭敏な界面極限と呼ぶ。特に確率項の加わった確率アレン・カーン方程式に対して鋭敏な界面極限の考察を行なった。以下、第三年度にて行った研究に関する概略を述べる。前年度に引き続き、ディリクレ境界条件u(±1)=1を持つような空間１次元確率アレン・カーン方程式を考察した。境界でピン留めされていると見做せるため、境界条件が無限遠点にある場合と比較して、界面の挙動は反射壁をもつブラウン運動になることが予想される。我々はこの方程式の解をL2[-1,1]-値のマルコフ過程と見なし、この解に対応するディリクレ形式のモスコ収束を示した。これらの議論から、極限における界面の挙動が反射壁ブラウン運動になることを示した。さらに去年は定常解に対して結果を示したのに対し、今年は非定常解への結果の拡張を行なった。また、これまでの研究に関連する数値シミュレーションを行った。特に、空間１次元の場合、空間多次元の場合、空間多次元かつ保存則が満たされる場合を扱い、得られた結果を博士論文内で取りまとめた。特に空間多次元かつ保存則が満たされるシミュレーションは、ノイズを付加すると界面の消滅が一瞬のうちに発生する様子が観察された。

在担任项目研究员的三年时间里，我对随机 Allen-Cahn 方程的敏感界面极限进行了研究。 Allen-Cahn 方程是一个反应扩散方程，其双稳态反应项由足够小的 ε>0 参数化，描述了相变现象和界面模型等物理现象。该参数与接口的宽度有关。感兴趣的对象是当界面宽度变得无限小并且界面形状变得尖锐时解决方案的行为。该限制称为敏感接口限制。特别是，我们对带有随机项的随机 Allen-Cahn 方程的界面极限进行了敏感研究。以下是第三年的研究概要。延续上一年的思路，我们考虑了狄利克雷边界条件 u(±1)=1 的空间一维随机 Allen-Cahn 方程。由于可以假设界面固定在边界处，因此与边界条件为无穷大时相比，界面的行为预计为具有反射壁的布朗运动。我们将该方程的解视为 L2[-1,1] 值马尔可夫过程，并给出了与该解对应的狄利克雷形式的 Mosko 收敛性。从这些讨论中，我们表明极限界面的行为是反射壁布朗运动。此外，虽然去年我们展示了稳定解决方案的结果，但今年我们将结果扩展到非稳定解决方案。我们还进行了与之前研究相关的数值模拟。特别是，我处理了一维空间情况、多维空间情况以及满足空间多维性和守恒定律的情况，并将所获得的结果总结在我的博士论文中。特别是，在空间多维且满足守恒定律的模拟中，观察到当添加噪声时，界面立即消失。

项目成果

Generation and Motion of interface in one-dimensional stochastic Allen-Cahn equation

一维随机Allen-Cahn方程中界面的生成和运动

• 发表时间: 2017
• 期刊: Journal of Theoretical Probability
• 影响因子: 0.8
• 作者: Sukuse Abe;Sukuse Abe;Sukuse Abe;Sukuse Abe;阿部翠空星;阿部翠空星;阿部翠空星;Kai Lee
• 通讯作者: Kai Lee

Sharp interface limit for stochastic reaction-diffusion equations

随机反应扩散方程的锐界面极限

• 发表时间: 2016
• 作者: Sukuse Abe;Sukuse Abe;Sukuse Abe;Sukuse Abe;阿部翠空星;阿部翠空星;阿部翠空星;Kai Lee;Kai Lee;李 嘉衣;李 嘉衣
• 通讯作者: 李 嘉衣

Sharp interface limit for stochastic Allen-Cahn equations

随机 Allen-Cahn 方程的锐界面极限

• 发表时间: 2017
• 期刊: 数理解析研究所講究録
• 作者: Sukuse Abe;Sukuse Abe;Sukuse Abe;Sukuse Abe;阿部翠空星;阿部翠空星;阿部翠空星;Kai Lee;Kai Lee
• 通讯作者: Kai Lee

Sharp interface limit for one-dimensional stochastic Allen-Cahn equation with Dirichlet boundary condition

具有狄利克雷边界条件的一维随机 Allen-Cahn 方程的锐界面极限

• 发表时间: 2016
• 作者: Sukuse Abe;Sukuse Abe;Sukuse Abe;Sukuse Abe;阿部翠空星;阿部翠空星;阿部翠空星;Kai Lee;Kai Lee;李 嘉衣;李 嘉衣;李 嘉衣;李 嘉衣;李 嘉衣;李 嘉衣
• 通讯作者: 李 嘉衣

Generation and motion of interface for 1-dimensional Allen-Cahn equations.

一维 Allen-Cahn 方程的界面生成和运动。

• 发表时间: 2014
• 作者: Sukuse Abe;Sukuse Abe;Sukuse Abe;Sukuse Abe;阿部翠空星;阿部翠空星;阿部翠空星;Kai Lee;Kai Lee;李 嘉衣;李 嘉衣;李 嘉衣;李 嘉衣;李 嘉衣;李 嘉衣;李 嘉衣;李 嘉衣;李嘉衣
• 通讯作者: 李嘉衣