多重分岐曲面の３次元多様体への埋め込み（グラフ理論と３次元多様体論の融合）

将多分支曲面嵌入3D流形（图论与3D流形理论的融合）

基本信息

批准号：
17K05262
负责人：
小沢誠
金额：
$ 2.83万
依托单位：
Komazawa University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2017
资助国家：
日本
起止时间：
2017-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

2022年度は、メキシコ国立自治大学数学研究所に在外研究で訪問した。研究課題に従い「どの多重分岐曲面が３次元球面に埋め込み可能か？」について研究を続けていたが、３次元球面に埋め込みできない多重分岐曲面は臨界的な複体を含むことが分かり、研究の方向性は臨界的複体へシフトした。まず、K_5×S^1及びK_{3,3}×S^1-familiesに含まれる全ての臨界的複体を決定した。より一般的に、GとHをグラフとしたとき、(G×S^1)∪Hの形を持つ臨界的複体を特徴付けた。この定理は、クラトフスキーの定理を本質的に証明に用いており、正しく研究課題の副題である「グラフ理論と３次元多様体論の融合」を実現している。これらの例のように、一般に「複体がもし3次元球面に埋め込めないならば、それは臨界的複体を含む」（性質C）と予想される。しかしながら、この性質を満たさない複体が存在することが分かった。それらの複体は、3次元球面に埋め込めない任意の部分複体は、元の複体と同相な複体を含むという性質を持つ。このことから、二つの複体が同値であることを、それらの複体が互いに埋め込み可能であると定義した。この同値関係の下、包含関係により、自然に半順序集合が得られ、臨界的であることの再定義ができる。上記の性質Cは、再定義された臨界的複体について、2次元の場合に成り立つことを示した。

2022年赴墨西哥国立自治大学数学研究所进行海外研究。根据我的研究问题，我继续研究“哪些多分支表面可以嵌入到3维球体中？”然而，发现不能嵌入到3维球体中的多分支表面领域包括批判情结，这导致我改变了我的研究方向，转向了批判情结。首先，确定了 K_5×S^1 和 K_{3,3}×S^1 家族中包含的所有关键配合物。更一般地，当 G 和 H 被绘制成图时，我们用 (G×S^1)∪H 的形式表征一个临界复合体。这个定理本质上是用克拉托夫斯基定理来证明的，正确地实现了研究课题的副标题“图论与三维流形理论的融合”。正如在这些例子中一样，通常预期“如果一个复合体不能嵌入到 3 球体中，则它包含一个临界复合体”（属性 C）。然而，已经发现存在不满足该性质的配合物。这些复合体具有这样的性质：任何不能嵌入3-球体中的子复合体都包含与原始复合体同胚的复合体。由此，我们将两个复合体定义为可相互嵌入的等价物。在这种等价关系下，由于包含关系，自然得到偏序集，并且可以重新定义临界性。我们表明，对于重新定义的临界复合体，上述属性 C 在二维情况下成立。