Geometry of measure concentration and curvature

测量浓度和曲率的几何形状

• 批准号: 23540066
• 负责人: SHIOYA Takashi
• 金额: $ 3.16万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2011
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2011 至 2013
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-23540066/
• 关键词: 測度の集中現象; Levy族; オブザーバブル距離; 曲率次元条件; リッチ曲率; ラプラシアンの固有値; ガウス測度; 球面; レビ族; オブザーバブル直径; セパレーション距離; 相転移性質; 無限次元空間; リーマン多様体; 測度距離空間; オブザーバブル直径・距離; ピラミッド; 測度集中

We studied the details of a geometric theory of metric measure spaces due to Gromov and wrote a book for it. We proved that if a sequence of metric measure spaces converges to a metric measure space with respect to the observable distance, then the curvature-dimension condition is stable. As an application, we give an estimate of the ratio of the k-th eigenvalue and the first eigenvalue of the Laplacian on a closed Riemannian manifold with nonnegative Ricci curvature, where the estimate depends only on k. Gromov defined a natural compactification of the space of metric measure spaces with the observable distance. We deeply considered it and introduce a new metric structure on it. We apply our metric structure to prove that an n-dimensional sphere of radius square root of n in a Euclidean space converges to an infinite-dimensional Gaussian space as n tends to infinity.

我们研究了格罗莫夫的度量测度空间几何理论的细节，并为此写了一本书。 我们证明，如果度量测度空间序列收敛到关于可观测距离的度量测度空间，则曲率维数条件是稳定的。 作为一个应用，我们给出了具有非负里奇曲率的闭黎曼流形上拉普拉斯算子的第 k 个特征值与第一个特征值之比的估计，其中该估计仅取决于 k。 格罗莫夫定义了度量测度空间与可观测距离的自然紧缩。 我们对其进行了深入的考虑，并在其上引入了新的度量结构。 我们应用度量结构来证明，当 n 趋于无穷大时，欧几里得空间中半径为 n 的平方根的 n 维球体收敛到无限维高斯空间。

项目成果

A topological splitting theorem for weighted Alexandrov spaces

加权Alexandrov空间的拓扑分裂定理

• 发表时间: 2011
• 期刊: Tohoku Math.J.(2)
• 作者: Kuwae;Kazuhiro; Shioya;Takashi
• 通讯作者: Takashi

Metric measure geometry for high-dimensional spaces

高维空间的度量几何

• 作者: Rho;J.;橘川 武郎;H. Matano;T. Shioya
• 通讯作者: T. Shioya

Manning, Jason Fox Simplicial volume and fillings of hyperbolic manifolds

Manning, Jason Fox 双曲流形的单纯体积和填充

• 发表时间: 2011
• 期刊: Algebr. Geom. Topol
• 作者: Fujiwara;Koji
• 通讯作者: Koji

Concentration of metric measure spaces

度量空间的集中

• 发表时间: 2012
• 作者: Yoshikazu Giga;Qing Liu;Hiroyoshi Mitake;道田泰司;T. Shioya
• 通讯作者: T. Shioya

空間の集中・収束・消散

空间的集中、汇聚和消散

• 发表时间: 2014
• 作者: Fujiwara;Koji;T. Okuma;Takashi Shioya and Kazuhiro Kuwae;奥間智弘;塩谷 隆
• 通讯作者: 塩谷 隆