道やループの空間の上での確率解析

道路和环路空间的概率分析

基本信息

批准号：
03J03705
负责人：
稲浜譲
金额：
$ 2.18万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2005
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は主にラフパス理論とよばれる新分野について研究した。これは、約10年まえにT.Lyonsにより創始されたもので、常微分方程式の概念を拡張することにより、確率微分方程式を非ランダム化してしまう理論である。有限次元の場合などを含め、主要な場合は確率微分方程式と守備範囲が重なっているが、正確には、守備範囲がややずれている。たとえば、無限次元のバナッハ空間上ではラフパス理論は問題なく働くものの、確率微分方程式は一般にはうまくいかないことが知られている。私が今回研究したループ空間上の確率過程というのはまさにそういった例になっており、ラフパス理論を持ち出す必然性があると言える。なお、具体的な無限次元の確率過程にラフパス理論を適用したのは、私(と共著者)の研究が初めてであり、ある種の方向性を示したと言えると思う。より具体的な研究内容は、ラフパス理諭の枠組みの中で、大偏差原理やその精密化であるラプラスの方法などを示したことである。なおこの種の極限定理は確率論では、非常に有名であり、いわば「定番」である。特にラプラスの方法は、ラフパス理論の中でははじめて証明されたように思う。今回計算したのは、極限の最初の項だけであるが、現在は任意有限個の漸近展開を求めるべく努力中である。特に、具体例としてループ空間の場合では、この研究によりFang-Zbangによるループ群の場合の結果が極めて簡単に別証明できる上に、はるかに一般の場合にまで拡張できることがわかった。ラプラスの方法に関しては、ループ空間上では自明な場合を除けば、初めての結果であるように思う。なお、ラプラスの方法の証明中で重要な役割をはたす確率テーラー展開が、非常に重要であることがわかった。今回は大変原始的な形でしか証明していないが、この確率テーラー展開を一般的な形でまとめることが、この次の課題である。確率微分方程式の場合では、確率テーラー展開もウィーナー測度という測度の選び方に依存しているが、ラプラスの方法では完全に非ランダムに(確率)テーラー展開を証明できるために、きれいにまとめることはかなり重要であるように思う。

今年主要研究一个新领域，叫粗糙路径理论。该理论由T. Lyons在大约10年前创建，是通过扩展常微分方程的概念而将随机微分方程非随机化的理论。在主要情况下，包括有限维的情况，覆盖范围与随机微分方程的覆盖范围重叠，但更准确地说，覆盖范围略有不同。例如，尽管粗糙路径理论在无限维 Banach 空间上效果很好，但众所周知，随机微分方程通常效果不佳。我这次研究的环空间上的随机过程就是一个例子，可以说有必要提出粗糙路径理论。需要说明的是，我的研究（以及我的合著者的研究）是第一次将粗糙路径理论应用到具体的无限维随机过程中，我认为可以说它指明了一定的方向。更具体地说，他在粗糙路径的框架内演示了大偏差原理及其改进，即拉普拉斯方法。这种类型的极限定理在概率论中非常著名，可以说是一个“标准”。特别是，我认为拉普拉斯的方法是第一个在粗糙路径理论中得到证明的方法。这次我们计算的只是极限的第一项，但我们目前正在努力寻找任意有限数的渐近展开式。特别是，以循环空间的情况为例，本研究表明，Fang-Zbang 在循环群的情况下获得的结果可以非常容易地证明，并且还可以扩展到更一般的情况。至于拉普拉斯方法，我认为这是我看到的第一个结果，除了循环空间上的明显情况之外。此外，在拉普拉斯方法的证明中起重要作用的概率泰勒展开也被发现非常重要。这次我只以非常原始的形式证明了它，但我的下一个任务是以一般形式总结这个概率泰勒展开式。在随机微分方程的情况下，随机泰勒展开也取决于维纳测度的选择，但由于拉普拉斯方法可以完全非随机（随机）地证明泰勒展开，所以我认为将其总结得井井有条是相当重要的。所以。