放物型非線形問題における自己相似性と解構造

抛物型非线性问题的自相似性和解结构

基本信息

批准号：
14740116
负责人：
内藤雄基
金额：
$ 2.11万
依托单位：
Kobe University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2002
资助国家：
日本
起止时间：
2002 至 2004
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究では、相似変換に関して不変な非線形偏微分方程式に対して、その特性がどのように解の振る舞いおよび解構造に反映されるかという観点から考察を行った。とくに今年度は、非線形項が臨界的指数増大度および優臨界的指数増大度ををもつ半線形熱方程式の自己相似解の解構造について重点的に考察を行った。半線形熱方程式の自己相似解は、適当なスケール普遍性から、ある特異な初期関数をもつCauchy問題の可解性と密接に関連することが知られているが、ここでは自己相似解の形状関数が、ある半線形楕円型偏微分方程式を満たすことに注目することにより、その初期値問題の解の存在について議論を行った。非線形項が臨界的指数増大度を持つ場合は、Brezis-Nirenbergの方法を適用することにより、Mountain Pass理論を適用する際に、エネルギー汎関数がある値より小さい場合に限りPalail-Smail条件が成立することが明らかになった。これにより空間時限N=3,4,5の場合には、劣臨界的な場合と同様に正値非最小解の存在を示すことができた。一方、空間時限Nが6以上の場合には、Pohozaev typeの恒等式を構成することにより適当なパラメータの範囲で正値非最小解の非存在性、すなわち自己相似解の一意性を示すことができた。また、非線形項が優臨界的増大度を持つ場合には、ODE methodを用いて球対称解に限定されたクラスの解の構造について考察を行った。とくに2階線形常微分方程式の理論を駆使することにより、shootingされた解の無限遠方での挙動について詳細な考察を行った。それにより、ある指数を境に解の挙動が大きく異なることを突き止めることができ、更にそれを足がかりとしてGalaktionov-Vazquezの予想を部分的ではあるが肯定的に示すことができた。

在本研究中，我们从非线性偏微分方程的特性如何反映在解的行为和结构中的角度考虑了对于相似变换不变的非线性偏微分方程。今年，我们特别关注半线性热方程自相似解的解结构，其中非线性项具有临界和超临界指数增长率。众所周知，由于适当的尺度普适性，半线性热方程的自相似解与具有特定奇异初始函数的柯西问题的可解性密切相关。方程中，我们讨论了初值问题解的存在性。如果非线性项具有临界指数增长程度，则通过应用 Brezis-Nirenberg 方法，在应用 Mountain Pass 理论时，仅当能量泛函小于某个值时 Palail-Smail 条件才成立。结果，我们能够证明在时空极限 N=3、4 和 5 中存在正非最小解，就像亚临界情况一样。另一方面，当时空极限N为6以上时，可以证明在适当的参数范围内不存在正非最小解，即自相似解的唯一性，构建 Pohozaev 型身份。此外，当非线性项具有超临界增长率时，我们使用ODE方法来考虑仅限于球对称解的一类解的结构。特别是，我们充分利用二阶线性常微分方程理论，对无限远距离的射击解的行为进行了详细研究。结果，我们发现解的行为在某个指标周围差异很大，并以此为立足点，我们能够部分但积极地证明 Galaktionov-Vazquez 的猜想。