V-多様体の同変楕円コホモロジーと楕円種数の剛性

V流形的等变椭圆上同调和椭圆亏格的刚度

基本信息

批准号：
14740051
负责人：
福本善洋
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Tottori University of Environmental Studies
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2002
资助国家：
日本
起止时间：
2002 至 2003
项目状态：
已结题

项目摘要

多様体の楕円種数は,Dirac作用素をベクトル束の母関数で捻った作用素の指数として定義され,トーラス作用がある場合は同変楕円種数が定数になることがBott-Taubes, Liuの剛性定理として知られている.本研究の目的は,V-多様体上の楕円種数の剛性を考察することにより,古典テータ関数やDedekindエータ関数等に由来する多くの算術和の相互法則を組織的に導き出し,それらの関係をゲージ理論の観点から統一的に理解することにあった.本研究では特に,トーリックV-多様体である高次元の重み付き複素射影空間上で楕円種数が定める母関数の各項をAtiyah-Singer-Kawasakiの指数定理を用いることにより計算し,商特異点からの寄与に関する相互法則を導くという方法をとった.指数公式の右辺に当たる位相的指数はV-多様体の特性数並びに特異点からの寄与の和として現れ,明示的に計算することができる.一方,左辺に当たる解析的指数は位相的指数の形から定まる有理関数に対して留数定理を用いることにより決定し,Zagierによる高次元Dedekind和の相互法則の一般化として,Fourier-Dedekind和をはじめとした無限個の算術和の相互法則を与える方法を確立した.また,算術和を与える特異点からの寄与は特異点の絡み目に関する符号数不足指数型不変量とみることにより,特異点の絡み目に関する不変量の相互法則を与えていると考えることができる.Alvarez-Gaurae-Wittenによる重力異常項の相殺公式は12次元閉スピン多様体に対する特性類の線形結合の消滅を主張するものである.本研究では,この特性類の線形結合に対応する,符号数不足指数型不変量の線形結合を用いた11次元レンズ空間に対する不変量を構成し,その相互法則を証明した.この方法はLiuによる8k+4次元に対する特性類の消滅定理に対しても展開することができる.現在は,同変楕円種数の位相的指数の形から定まるトーラス上の有理関数に留数定由を適用することにより上記の相互法則を母関数として導出する試みを行っている.これらの議論を服部-桝田氏の一般のトーラスV-多様体に対して遂行し,トーラスV-多様体の多重扇,並びに特異点の絡み目の符号数不足指数型不変量に関する組み合わせ論を展開することが今後の課題である.

流形的椭圆亏格定义为用向量丛的生成函数扭曲狄拉克算子的算子索引，并且 Bott-Taubes 指出，如果存在环面作用，则等变椭圆亏格变为常数。这被称为刘氏刚性定理。本研究的目的是考虑V流形上椭圆亏格的刚性，并获得由经典theta函数、Dedekind eta函数等导出的许多算术和的相互作用。这些定律是系统导出的，并且它们之间的关系是使用规范理论计算的。在本研究中，我们重点关注 Atiyah-Singer-Kawasaki 商，通过使用指数定理计算我们采用推导奇点贡献倒数定律的方法。拓扑指数，即指数公式的右侧，表现为V流形的特征数与奇点贡献的总和。另一方面，左边的解析索引是拓扑索引的形式吗？一种确定无限算术和（包括傅立叶-戴德金和）互易律的方法，作为高维戴德金和的 Zagier 互易律的推广，使用确定的有理函数的留数定理。此外，通过将给出算术和的奇点的贡献视为关于奇点之间的连接的下符号指数不变量，可以将其视为给出关于奇点之间的连接的不变量的倒数定律。 .Alvarez-Gaurae-Witten 的重力异常普通项的抵消公式断言 12 维闭合自旋流形的属性类线性组合消失使用连接构造 11 维透镜空间的不变量，并且该方法也可以推广到维度为8k+4的刘性质类消失定理。目前，我们已经通过将剩余常数应用于等变椭圆亏格的拓扑指数形式来证明了环面的基本原理。函数，上述互易定律可以表示为生成函数。我们已经对 Hattori-Masuda 的一般环面 V 流形进行了这些论证，并且我们尝试将其导出如下：未来的挑战是开发关于指数不变量的组合数学。