アファイン量子展開環の結晶基底

仿射量子膨胀环的晶体基础

基本信息

批准号：
10J03892
负责人：
小寺諒介
金额：
$ 0.9万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2010
资助国家：
日本
起止时间：
2010 至 2011
项目状态：
已结题

项目摘要

1.アファイン量子展開環の有限次元既約表現の間の拡大の研究を行った.$U_q(\hat{\mathfrak{sl}}_2)$の場合に,あるクラスの既約表現の1次のExt群について,昨年度の結果に帰着することでその次元を求めた.昨年度に比べればかなり広いクラスに対して1次のExt群が計算できたことになるが,完全解決には至っていない.また,既約表現の自己拡大の1次のExt群の次元が,その表現をテンソル積に関して素因子分解した際の素因子の数に一致すると予想し,ある仮定の下では証明を与えた.これは最近のChari-Moura-Youngの結果に触発されたもので,その精密化を与えている.これまでの研究に基づき,$U_q(\hat{\mathfrak{sl}}_2)$の場合に一般の有限次元既約表現の1次のExt群に対してその次元に関する予想を定式化した.また,これまでに得られた結果について以下の研究集会およびセミナーで口頭発表を行った.第14回代数群と量子群の表現論研究集会(香川県,2011年6月)Infinite Analysis 11(東京大学,2011年7月,ポスター発表)表現論セミナー(数理解析研究所,2012年2月)代数セミナー(パリ,2012年3月)2.箙多様体とエネルギー函数との関係についての研究を行った.昨年度の研究により,ADE型箙多様体のPoincare多項式が,アファイン量子展開環の基本表現のテンソル積の結晶基底とその上のエネルギー函数を用いて表示できることがわかっていた.このことは,基本表現のテンソル積の結晶基底を箙多様体を用いて構成できる可能性を示唆している.今年度はこの観察に基づき,エネルギー函数を箙多様体を用いて直接的に表示することを試みた.残念ながらこれらの問題を今年度中に解決することはできなかったため,将来の課題としたい.

1。我们研究了仿射量子膨胀环的有限维表达之间的膨胀。对于$ u_q（\ hat {\ mathfrak {sl}} _ 2）$，我们通过产生去年的结果来计算一阶表达式的一阶Ext组的尺寸。与去年相比，一阶EXT组能够为更广泛的类别计算，但尚未完全解决。此外，我们预测，当表达相对于张量产物预先成分时，不可减至表达的一阶EXT组的自我扩张的尺寸与预成分的数量匹配。在某些假设下，我们给出了证据。这是由Chari-Moura-Young的最新结果及其完善的启发。基于先前的研究，我们在$ u_q（\ hat {\ mathfrak {sl}} _ 2）$的情况下制定了一阶EXT组的尺寸的预测。我们还对迄今为止在以下研究会议和研讨会上获得的结果进行了口头介绍。第14个代数和量子组代表理论（2011年6月，川县县）无限分析11（东京大学，2011年7月，海报演讲）关于代表理论的研讨会（2012年2月，2012年2月）代数研讨会（Paris，2012年3月，2012年3月）。去年的一项研究发现，可以使用Ade型稀疏歧管的繁殖性多项式，可以使用仿射量子膨胀环和上面的能量函数的基本表达量的晶体基础来显示。这表明可以使用稀疏歧管构建基本表达的张量产物的晶体基础。基于此观察，我们尝试使用稀疏的歧管直接显示能量功能。不幸的是，在这个财政年度无法解决这些问题，因此我们希望使它们成为未来的问题。