Stokes方程式におけるHadamard変分公式について

关于Stokes方程中的Hadamard变分公式

• 批准号: 10J03833
• 负责人: 牛越 惠理佳
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2010
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2010 至 2012
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-10J03833/
• 关键词: Stokes方程式; Hadamard変分公式; Stokes方程式; Hadamard変分公式

これまでに,体積一定の摂動条件のもと,Stokes方程式の速度場に対するHadamard変分公式の導出に成功した.また,体積一定であることに加えて,摂動条件に若干の仮定を加えることによって,速度場だけでなく,圧力に対する変分公式を導出することができた。しかしながら,未だこの証明方法は煩雑で,Hadamard変分公式の応用を考察するためには,証明方法の更なる簡略化および摂動条件に新たに加えられた仮定を取り除く必要性を感じ,研究を行った.そして実際,体積一定の摂動に対して,Stokes方程式の速度場および圧力に対する変分公式の証明の簡略化に成功した.しかしながら,シンプルな証明を確立したことによって,これまでに得ることの出来なかった,速度場および圧力の第二次変分までをも導出することに成功した.この手法に,所謂bootstrap argumentを用いることによって,任意の高階に対する変分公式の導出が可能になると予想される.これらの結果をまとめ,論文として投稿した,以上の研究成果をもって,国内研究集会へ積極的に参加し,研究分野の近しい数学者と議論を行い,変分公式の次なる発展を模索することを心がけた.変分公式は,領域摂動問題において,基本的でありかつ不可欠である.実際に,変分公式を応用して,固有値の領域依存性を解析した多くの結果が存在する.様々な数学者との議論を通して,今後の研究へ大きな影響を与えるような知見を得ることが出来た.

到目前为止，在恒定体积的扰动条件下，我们成功地得出了Stokes方程速度场的Hadamard变化公式。除恒定体积外，我们还可以通过在扰动条件中添加一些假设来得出速度场的变异公式，而不仅是速度场，而且还可以得出压力。但是，这种证明方法仍然很复杂，为了考虑Hadamard差异公式的应用，我们认为有必要进一步简化证明方法并删除对扰动条件的新添加的假设，并进行了研究。实际上，我们成功地简化了速度场和速度场的压力的变异公式的证明，以及恒定体积扰动的压力。但是，通过建立一个简单的证据，我们成功地得出了我们尚未实现的速度场和压力的第二个变化。在这种方法中，我们有一个所谓的自举。可以预期，通过使用参数，可以为任何高阶而得出各种公式。随着这些结果汇编并提交了论文，我们积极参加了国内研究会议，与研究领域的数学家进行了讨论，并试图探索差异公式的下一个发展。变分公式在域扰动问题中是基本的，并且至关重要。实际上，已经有许多结果用于分析特征值的域依赖性。通过与各种数学家的讨论，我们能够获得对未来研究产生重大影响的知识。