ロジーフラクタルとフラクタル幾何学

逻辑分形和分形几何

基本信息

批准号：
00F00267
负责人：
秋山茂樹
金额：
$ 1.41万
依托单位：
Niigata University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2002
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-00F00267/
关键词：
Pisot数タイル張り連結性数系記号力学系フラクタル

项目摘要

論文1において、N.Gjiniは秋山、貞広の結果を拡張し、ロジーフラクタルの場合のタイル張りに関して、隣接条件や、多重点などを研究した。この場合には、Substitutionによる力学系との対応や、連分数等の同時近似アルゴリズムとの関係も知られており興味深い。さらに、一般の標準数系とPisot数系に対応するタイル張りの場合に、その境界や、内点の状況、とくにタイルの単連結性は数論的な応用上重要である。また、論文3ではPisot数系の場合にも代数的な特徴付けや、位相的構造の研究の重要性が明確になった。また論文5で、J.Luo,秋山,J.Thuswaldnerは連結なタイルの境界の連結性の十分条件を考察し、開集合条件はその一つであることを示した。Pisot数系と対極の位置にある標準数系では論文2,論文4のように特徴付け問題におおきな進展がある。この方向は秋山,H.Rao、H.Brunotte,J.Thuswaldnerらの共同研究に繋がって発展している。論文1を発展させ、秋山とGjiniは一般の低次の標準数系とPisot数系に付随するタイル張りの位相的特徴付け、特に連結性に関し共同研究を進め4次以下の標準数系タイル張りの連結性を証明した。連続する整数を用いた数系においてはこの種の連結性はある程度期待されていた事である。さらにPisot数系の場合に2,3次の場合に連結性を証明、4次の場合には非連結なタイル張りを見つけだした。その方法は、Hermite,Schurに遡る根の分離とBezout二次形式を連結する手法と連結性の十分条件を組み合わせる方法であり、4次のPisot数系双対タイル張りに関して、いつ連結、いつ非連結となるかを定義方程式の係数の不等式のみで記述するという著しい結果を導いた。この結果に関しては、国内外の研究集会において数回の発表を行い、聴衆から驚きと賞賛を獲得している。この仕事は、粘り強い分類と計算を要する労作で、4次のPisot単数の1の展開の分類、連結性の分類、その要約の3つに分け現在投稿し回答待ちの状態である。

在论文1中，N.Gjini扩展了Akiyama和Sadahiro的成果，研究了逻辑分形情况下关于平铺的邻接条件和多点。在这种情况下，与使用替换的动力系统的对应关系以及与连分数等联立逼近算法的关系也是已知的并且很有趣。此外，在对应于通用标准数系和皮索数系的瓦片的情况下，边界和内点，尤其是瓦片的简单连通性对于数论应用非常重要。论文 3 还阐明了皮索数系中代数表征和拓扑结构研究的重要性。此外，在论文 5 中，J. Luo、Akiyama 和 J. Suchwaldner 考虑了连通图块边界连通性的充分条件，并表明开集条件是其中之一。在与皮索数系相反的标准数系中，如论文 2 和论文 4 所示，在表征问题上已经取得了重大进展。该方向是通过 Akiyama、H. Rao、H. Brunotte 和 J. Suchwaldner 的联合研究发展起来的。在论文 1 的基础上，Akiyama 和 Gjini 对与一般低阶标准数系统和 Pisot 数系统相关的平铺拓扑表征进行了联合研究，特别是在连通性方面，并研究了 4 阶及以下标准数系统的平铺。证明了连通性在使用连续整数的数字系统中，这种连通性在某种程度上是可以预期的。此外，在皮索数系统的情况下，我们证明了二阶和三阶情况下的连通性，并在四阶情况下发现了不连通的平铺。该方法是一种结合了 Hermite 和 Schur 的根分离方法、连接 Bezout 二次形式的方法和连通性的充分条件的方法，我们获得了仅描述定义方程的系数不等式的显着结果。这些成果已多次在国内外研究会议上展示，并受到观众的惊喜和好评。这项工作需要持久的分类和计算，目前分为三部分：四阶Pisot奇异数中1的展开式的分类、连通性的分类及其摘要，目前正在提交并等待回复。