Koecher Maass級数と保型形式のリフティング

Koecher Maass 级数和自守形式的提升

基本信息

批准号：
11874005
负责人：
伊吹山知義
金额：
$ 1.22万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Exploratory Research
财政年份：
1999
资助国家：
日本
起止时间：
1999 至 2001
项目状态：
已结题

项目摘要

先に研究代表者は研究協力者林田秀とともに2つの1変数保型形式から半整数ウエイトのジーゲル保型形式へのリフティングの予想を与えた。これは、full modularについての精密な予想であるがレベル付きで考えれば次数2の志村対応(予想)とYoshida liftingの合成とも見なせる実素点での表現の対応を考えることにより、志村対応予想はベクトル値ジーゲル保型形式とスカラー値の半整数ウェイト保型形式の間の対応になる。(もっと一般の設定ではもちろんベクトル値対ベクトル値である。)このような観点から研究代表者はベクトル値保型形式の研究をすすめた。その結果ウェイトが行列式のk乗べきとm次の対称テンソル表現になっているものについて、m=2,4,6でkが任意の場合に保型形式のなすベクトル空間の構造を求めた。手法は、微分作用素、格子と球関数つきのテータ関数、アイゼンシュタイン級数などを用いる。しかし実はここでのゼータ関数の実例計算はなぜか志村対応、Yoshida liftingのlevel1での存在をまったくサポートしていない。このようなlevel1の特殊現象は精密に解明されるべきで、このためベクトル値に付随するヤコービ形式の研究などを始めている。またすべてのkとmについての大きな保型形式テンソル環という観点を導入しこの無限生成環がやさしい有限生成環に含まれるであろうという予想を提唱している。Koecher-Maass級数にliftingの存在を示す力があることはこの間のIkeda liftingの登場によりあきらかになったが、Koecher-Maass級数によりliftingを証明するという本研究課題の長期目標にはまだ遠い。しかし上で述べたような付随的な多くの結果により、研究課題の方向性の正しさははっきりしたと考えており、これまでの3年間の研究で、萌芽的研究としての研究初期の役割は十分果たしたと考えている。

首先，首席研究员与研究合作者 Hide Hayashida 提出了从两个单变量模形式提升到具有半整数权重的 Siegel 模形式的猜想。这是全模块化的精确猜想，但如果我们从层次上考虑，志村对应猜想可以看作是2阶志村对应（猜想）和吉田提升的组合，并考虑实点的表达式，我们可以得到Shimura对应猜想，它是向量值Siegel自同构形式和标量值半整数权自同构形式之间的对应关系。（当然，在更一般的情况下，它是向量值与向量值。）从这个角度来看，主要研究者继续进行向量值形式的研究。由此，我们找到了权重表示为 m 阶对称张量和行列式的 k 次幂的情况下，自同构形成的向量空间的结构，其中 m = 2, 4, 6 和 k是任意的。方法包括微分算子、具有晶格函数和球函数的 theta 函数以及爱森斯坦级数。然而事实上，由于某种原因，这里的zeta函数的示例计算根本不支持志村对应和吉田提升在1级的存在。这种1级特殊现象需要精确阐明，为此我们开始研究与向量值相关的雅可比形式。他还引入了对于所有 k 和 m 的大自同构张量环的观点，并提出了这个无限生成环将包含在一个简单的有限生成环中的猜想。最近池田举升的出现已经清楚地表明了Koecher-Maass系列有能力证明举升的存在，但离这个研究项目的长期目标——利用Koecher证明举升——还很远。 -马斯系列。但是，由于上面提到的许多偶然结果，我们认为研究课题的正确方向现在已经明确，并且初步研究作为探索性研究的作用已经在过去三年中得到了证实，我认为我已经完成了我的工作。部分。