ジーゲル保型形式と幾何学

西格尔模块化形式和几何

基本信息

批准号：
61540052
负责人：
伊吹山知義
金额：
$ 0.51万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1986
资助国家：
日本
起止时间：
1986 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-61540052/
关键词：
保型形式跡公式ヴェイユ表現代数群離散群

项目摘要

(1)任意の次数nに対してコンパクトシンプレクティック群Sp(n)の保型形式の一部は、一変数保型形式からの「持ち上げ」であることを示し、両者の間のL函数の関係を求めた。手法はWeil表現とアデール群上の算術によっている。従来、dual reductive pair と呼ばれる代数群の組については、 R.HoweによってWeil表現による持ち上げの一般原理が記述されていたが、我々の2つの代数群の組はdual reductive pairではないという点で、「持ち上げ」の理論の枠を広げ新しい問題を堤出したと言えるであろう。(以上は伊原康隆(東大理)との共同研究)(2)Sp(n、1R)上のジーゲル保型形式とSp(n)上の保型形式の次元比較を行った。両者の次元公式は、セルバーグ跡公式によれば、離散群の元の共役数に関する適当なデータの和で書かれるはずだが、Sp(n、1R)においては、Sp(n)では存在しない「中心的巾単元の寄与」がありうる。ラニングランズのstable conjugacy class に関する哲学によれば、このような項は本来消滅するはずである。一方、古典的な意味で美しい保型形式の対応関係をを得るには、対象とする離散群をminimal parohoric subgroup に取るべきであることが以前の研究でわかっていた。この時に保型形式をnew formとold formに分離し、上のような寄与は全体では本来消滅しないがnew formに制限すれば消滅することを示した。証明は寄与の収束と寄与の消滅の2段階にわかれる。前者は新谷による擬均質ベクトル空間のゼータ函数の理論により後者はBruhot-Tits 理論等の群論による。この結果の系として離散群に適当なレベルをつけ跡公式についての標準的予想を仮定すればSp(n、1R)とSp(n)の保型形式の次元の一致が示される。構造的証明であるので一般の代数群への拡張が期待される。(1)(2)について名大と京大のシンポジウムにて発表した。英文論文は(1)は Math.Ann.に受理され(2)は準備中である。

(1) 证明对于任意次数n，紧辛群Sp(n)的部分自同构形式是从单变量自同构形式“提升”出来的，并且我寻求两者之间的L函数之间的关系该方法使用 Weil 表示和 Adair 群上的算术。传统上，对于称为对偶还原对的代数群对，R. Howe 描述了使用 Weil 表达式进行提升的一般原理，但是我们的两个代数群对并不是对偶还原对，可以说他扩展了“提升”理论的框架并提出了一个新问题。（以上为与井原泰隆（东京大学教员）的共同研究） (2) 我们比较了 Sp(n, 1R) 上的 Siegel 自同构形式和 Sp(n) 上的自同构形式的维数。根据Selberg迹公式，两个维数公式都应写成有关离散群元素的共轭数的适当数据之和。可能存在“目标宽度单元的贡献”。根据兰宁兰兹稳定共轭类的哲学，这些术语基本上应该消失。另一方面，先前的研究表明，为了获得经典意义上的美丽的自同构对应，应该将离散的兴趣群视为最小的奇观子群。此时，我们将自同构形式分为新形式和旧形式，并表明上述贡献在整体上并没有消失，但如果我们将其限制在新形式中，它就会消失。证明分为贡献收敛和贡献消退两个阶段。前者基于Shintani的准齐次向量空间中的zeta函数理论，后者基于Bruhot-Tits理论等群论。作为这个结果的系统，如果我们为离散群设置适当的水平并假设关于迹公式的标准猜想，我们可以证明 Sp(n, 1R) 和 Sp(n) 的自同构形式的维数匹配。由于这是一个结构证明，因此有望扩展到一般代数群。 (1)和(2)是在名古屋大学和京都大学举行的研讨会上提出的。英文论文，(1)已被Math.Ann.接收，(2)正在准备中。