自己相似タイルと数系タイルの位相的構造とピゾ予想

自相似瓦片和算术瓦片的拓扑结构和Pizo猜想

• 批准号: 08F08714
• 负责人: 秋山 茂樹
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Niigata University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2008
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2008 至 2010
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08F08714/
• 关键词: フラクタル; タイル張り; オートマトン; 結晶群; 数系; Pisot数

フラクタルタイルの境界の標準的なパラメータ付け、すなわち曲線として記述について継続的に研究した。このパラメータ付けは接触オートマトンによる小さいオートマトンによる表示に適切な順序を導入することで行われ、接触オートマトンが強連結グラフを与えるときはそのような順序付けにより標準的な数系を対応させることができることを大きなタイル張りのクラスで確認されている。またそのようなパラメータ付けが標準的であることを示すのにも成功した。これにはHe-Lauらの導入した新しい形のHausdorff測度を用いた。このパラメータ付けをRauzy fractalなどの複数のタイルによる非周期的なタイル張りに拡張する研究、およびパラメータ付けによるタイル内部の連結成分の位相構造の研究に着手している。とくに後者ではフラクタル境界での回転数の定義をすることが重要で現在試験的な計算を行っている。実際にHeighway dragonと呼ばれるフラクタルタイルは全体として連結であるが、内点の連結成分は有限個であり切断点を通じて連結成分の閉包は数珠上に繋がっていることが知られている。この結果は今回得られたパラメータ付けにより直接確認することができる。一方結晶群の対称性をもつタイル張りについてJ.Luo,J.Thuswaldnerらと研究を進めた。タイルの内点集合の連結成分の記述に関しては、結果を精密化し証明を簡易化することに成功した。

该描述被连续研究为分形瓷砖边界的标准参数化，即曲线。通过触点自动机引入适当的小型自动机显示，可以实现此参数化，并已在大型瓷砖类中证实，当触点自动机提供强链接图时，可以通过这种订购来匹配标准数值系统。它也成功地表明这种参数化是标准化的。这是使用He-Lau等人引入的新型Hausdorff测量方法完成的。我们开始研究将这种参数化扩展到具有多个图块（例如Rauzy Fractal）的多个瓷砖形成，并通过参数化研究瓷砖内部连接组件的拓扑结构。特别是，在后一种情况下，定义分形边界处的旋转数量并进行实验计算很重要。实际上，称为Heighway Dragons的分形图块是整体上连接的，但众所周知，内部点的连接组件是有限的，并且连接组件通过切割点的闭合已连接到念珠。可以通过这次获得的参数化直接确认此结果。另一方面，我们与J. Luo，J。Suswaldner等人对晶体组对称的瓷砖结构进行了研究。关于瓷砖内部集合的连接组件的描述，我们成功地完善了结果并简化了证明。

项目成果

Interior components of a tile associated to a quadratic canonical number system

• DOI: 10.1016/j.topol.2007.10.007
• 发表时间: 2008-03
• 期刊: Topology and its Applications
• 影响因子: 0.6
• 作者: B. Loridant;J. Thuswaldner

Fractals induced by number systems

数字系统引起的分形

• 发表时间: 2010
• 作者: B.Loridant;J.Thuswaldner;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit
• 通讯作者: Loridant Benoit

Buchi automata and application to the topology of number system tiles

Buchi 自动机及其在数系图块拓扑中的应用

• 发表时间: 2009
• 作者: B.Loridant;J.Thuswaldner;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit
• 通讯作者: Loridant Benoit

Topology of self-similar tiles

自相似瓦片的拓扑

• 发表时间: 2009
• 作者: B.Loridant;J.Thuswaldner;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit
• 通讯作者: Loridant Benoit

The interior components of tiles associated to canonical number systems

与规范数字系统相关的图块的内部组件

• 发表时间: 2008
• 作者: B.Loridant;J.Thuswaldner;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit;Loridant Benoit
• 通讯作者: Loridant Benoit