モジュレーション空間の分散型方程式への応用

调制空间在分布方程中的应用

基本信息

批准号：
17J00359
负责人：
加藤睦也
金额：
$ 2.83万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2017
资助国家：
日本
起止时间：
2017-04-26 至 2020-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

双線形擬微分作用素のルベーグ空間における有界性について考えた．擬微分作用素とは，微分作用素を一般化した作用素である．もう少し詳しく述べると，微分作用素はフーリエ変換を通して眺めると，周波数変数に関する多項式が現れる．その多項式を空間変数にも依存する関数へと一般化したものが擬微分作用素である（その一般化した関数をシンボルと呼ぶ）．双線形擬微分作用素は，その擬微分作用素を二つの関数の積へと作用させられるように自然に拡張したもので，Coifman-Meyerによって偏微分方程式論へ応用するために導入された．本研究では，シンボルがヘルマンダーのS_{0,0}型クラスに属する場合に，その双線形擬微分作用素は直積空間L^2×L^2から局所ハーディー空間 h^1 への有界作用素となる，という既存結果に対して，写り先の空間，シンボルクラス，シンボルの可微分性の3つの観点において，以下のような拡張を行った．1．写り先の空間：これまで，双線形擬微分作用素の有界性では，元の空間と写り先の空間との間にはヘルダーの不等式に現れる指数の関係性を仮定することが多かった．ここでは，L^2×L^2から指数が2以下のルベーグ空間もしくは局所ハーディー空間へ写ることを示し，必ずしもその関係性が必要ではないことを示した．2．シンボルクラス：これまで，ヘルマンダーのS_{0,0}型クラスに現れるシンボルの挙動を測るための重み関数は，二乗平均の形をしたものであった．ここでは，その重み関数が他の関数（例えば，弱L^p空間に属す関数）であっても上述の有界性が成り立つことを示した．3．シンボルの可微分性：これまで，有界性を得るためにはシンボルにかなり多くの可微分性を仮定していた．ここでは，各変数に対して多くともn/2程度で十分であることが示された．本研究は，東京女子大学の宮地晶彦氏，大阪大学の冨田直人氏との共同研究である．

我们考虑了勒贝格空间中双线性伪微分算子的有界性。伪微分算子是微分算子的推广的算子。为了更详细地解释，如果我们通过傅里叶变换查看微分算子，就会出现关于频率变量的多项式。伪微分算子是广义多项式的函数，该函数也依赖于空间变量（广义函数称为符号）。双线性伪微分算子是伪微分算子的自然扩展，能够作用于两个函数的乘积，由 Coifman-Meyer 引入，用于偏微分方程理论中的应用。本研究中，当符号属于Hermander的S_{0,0}类型类时，其双线性伪微分算子是从直积空间L^2×L^2到局部Hardy空间h^1的有界算子。我们从摄影目的地的空间、符号类别和符号的可微性三个角度对现有结果进行了以下扩展。 1.目标空间：到目前为止，在考虑双线性伪微分算子的有界性时，通常假设源空间和目标空间之间存在指数关系，如 Herder 不等式中所示。在这里，我们证明了 L^2×L^2 映射到索引小于 2 的 Lebesgue 空间或局部 Hardy 空间，并表明这种关系不一定是必要的。 2.符号类：到目前为止，用于衡量 Hermander 的 S_{0,0} 类型类中出现的符号行为的加权函数一直采用均方根的形式。在这里，我们证明即使权重函数是另一个函数（例如，属于弱 L^p 空间的函数），上述有界性也成立。 3.符号的可微性：到目前为止，我们已经假设符号具有相当程度的可微性以获得有界性。此处，结果表明最多 n/2 对于每个变量就足够了。这项研究是与东京女子大学的宫地明彦先生和大阪大学的富田直人先生共同进行的研究。