特異な多重線形擬微分作用素に対する有界性定理の精密化

奇异多线性伪微分算子有界定理的细化

• 批准号: 22KJ2109
• 负责人: 至田 直人
• 金额: $ 1.09万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2023
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2023-03-08 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-22KJ2109/
• 关键词: 多重線形擬微分作用素; 双線形擬微分作用素; ソボレフ空間; ベゾフ空間; トリーベル・リゾルキン空間; ヘルマンダークラス; 多重線形作用素

本年度は双線形擬微分作用素の有界性について，以下の結果を得た．１．双線形のヘルマンダークラスS_{0,0}にシンボルをもつ双線形擬微分作用素について，ソボレフ空間上の有界性を証明した．ソボレフ空間はトリーベル・リゾルキン空間の特別な場合である．ソボレフ空間上の有界性は，線形の擬微分作用素の場合にはルベーグ空間上の有界性とヘルマンダークラスS_{0,0}の合成に関する性質から容易にに導かれることは古くから知られている．しかし，双線形の場合に同様の手法で議論を適用したとしても，ソボレフ空間上の有界性を得ることはできない．本研究では双線形のヘルマンダークラスS_{0,0}よりも広いシンボルクラスを考え，そのルベーグ空間上での有界性を考えることによりこの困難を克服することができた．また，ソボレフ空間上の有界性を保証するためには，線形の場合には現れなかった，可微分性を表す指数に対してある条件が必要であることも明らかにした．２．双線形のヘルマンダークラスS_{0,0}にシンボルを持つ双線形擬微分作用素について，ベゾフ空間上での有界性を証明した．ベゾフ空間の指数を適当に選ぶことで，これまでに知られていたルベーグ空間上の有界性（Miyachi-Tomita(2013), Kato-Miyachi-Tomita (2022))を部分的に改良できることが分かった．また，上記のソボレフ空間上での有界性の場合と同様に，指数に対してある仮定がベゾフ空間上の有界性を証明するためにある意味で必要であることも示した．

今年，我们获得了以下关于双线性伪微分算子有界性的结果。 1.我们证明了双线性伪微分算子在 Sobolev 空间上的有界性，其符号位于双线性 Hermander 类 S_{0,0} 中。 Sobolev 空间是 Triebel-Rizolkin 空间的特例。人们早就知道，在线性伪微分算子的情况下，索博列夫空间上的有界性可以很容易地从勒贝格空间上的有界性和赫尔曼德类 S_{0,0} 的组合中导出。 。然而，即使我们将相同的参数应用于双线性情况，我们也无法获得 Sobolev 空间上的有界性。在这项研究中，我们通过考虑比双线性 Hermander 类 S_{0,0} 更广泛的符号类并考虑其在勒贝格空间上的有界性，克服了这一困难。我们还澄清，为了保证 Sobolev 空间上的有界性，表示可微性的指标需要一定的条件，而这在线性情况下不会出现。 2.我们证明了双线性伪微分算子在 Besov 空间上的有界性，其符号位于双线性 Hermander 类 S_{0,0} 中。研究发现，通过适当选择 Besov Ta 空间的指数，可以部分改善先前已知的 Lebesgue 空间上的有界性（Miyachi-Tomita (2013)、Kato-Miyachi-Tomita (2022)）。我们还表明，与上述 Sobolev 空间上的有界性情况类似，在某种意义上，为了证明 Besov 空间上的有界性，需要对索引进行某些假设。

项目成果

Boundedness of bilinear pseudo-differential operators with $BS^m_{0,0}$ symbols on Sobolev spaces

Sobolev 空间上带有 $BS^m_{0,0}$ 符号的双线性伪微分算子的有界性

• 发表时间: 2022
• 作者: 土元哲平（木戸彩恵、サトウタツヤ;編）;至田直人
• 通讯作者: 至田直人

Boundedness of bilinear pseudo-differential operators on Sobolev spaces

Sobolev空间上双线性伪微分算子的有界性

• 发表时间: 2022
• 作者: Li;J.;Matsunaga;M.;Myowa;M.;& Nagai;Y;至田直人;土元哲平;Naoto Shida
• 通讯作者: Naoto Shida

Boundedness of bilinear pseudo-differential operators with $BS^{m}_{0,0}$ symbols on Sobolev spaces

Sobolev 空间上带有 $BS^{m}_{0,0}$ 符号的双线性伪微分算子的有界性

• 发表时间: 2022
• 期刊: Mathematische Nachrichten
• 影响因子: 1
• 作者: Matsunaga;M.;Takeuchi;M.;Watanabe;S.;...(他 4 名);Hagihara;K.;& Myowa M.;土元哲平;Naoto Shida
• 通讯作者: Naoto Shida

Boundedness of bilinear pseudo-differential operators of $S_{0,0}$-type on Besov spaces

Besov空间上$S_{0,0}$型双线性伪微分算子的有界性

• 发表时间: 2023
• 作者: Li;J.;Matsunaga;M.;Myowa;M.;& Nagai;Y;至田直人
• 通讯作者: 至田直人