退化楕円型方程式の解の構造の研究

简并椭圆方程解的结构研究

• 批准号: 08640163
• 负责人: 堀内 利郎
• 金额: $ 0.64万
• 依托单位: Ibaraki University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08640163/
• 关键词: 退化楕円型方程式; 重み付きソボレフの埋め込み定理; 重み付きソボレフ不等式

本年度の研究目的は領域の内部及び境界で様々な退化を許された楕円型偏微分作用素の対して、境界値問題の解の構造を詳しく調べることであり、具体的には次の問題が中心となりました。1。クリティカルな増大度を持つ非線形項を含む場合の退化楕円型方程式の解の存在と正則性の研究。特に重み付きソボレフの不等式の最良定数の決定等に代表される変分問題との関係を研究する。2。領域境界上で非一様な退化をする作用素の解(特に古典解)の構造を研究する。3。実対称行列上での(ベッセル型に代表される)退化楕円型作用素に対するポテンシャル論の構成及び退化楕円型作用素に関するポテンシャル論の構成。これらの問題に対して、以下のような成果がありました。第1の問題については、原点からの距離のべきを重みとする重み付きソボレフの不等式の最良定数と極値関数の決定を試み、主要部が線型の場合には完全な結果が得られた。主要部が非線型の場合にも、極値関数の存在するための必要十分条件が得られており、来年度以降の研究が期待される。第2の問題については、境界全体、或いはその一部で退化がおこり、その仕方が必ずしも一様でない場合に、その楕円型偏微分作用素に対する混合型境界値問題の可解性が調べられた。本年度はノイマン型条件とディリクレ型条件を中心としてグリーン関数の構成とその評価が行われ、古典解の存在と正則性のが詳しく調べられた。第3の問題については、熱方程式の解を保存する変換の特徴付けが下村を中心として行われた。平成9年度以降は以上の成果をもとに、さらに退化楕円型作用素の研究を発展させて行く予定である。

今年研究的目的是详细研究椭圆偏微分算子边值问题解的结构，该算子允许域内和域边界处的各种退化。具体来说，以下问题是主要焦点： 1.研究包含临界增长非线性项时简并椭圆方程解的存在性和规律性。特别是，我们研究与变分问题的关系，例如确定加权索博列夫不等式的最佳常数。 2.我们研究在域边界上经历非均匀退化的算子的解（尤其是经典解）的结构。 3.实对称矩阵上简并椭圆算子（以Bessel型为代表）势论的构造以及简并椭圆算子势论的构造。针对这些问题，我们取得了以下成果：对于第一个问题，我们试图确定加权Sobolev不等式的最佳常数和极值函数，其权重是距原点距离的幂，当主部分是线性时，我们得到了完美的结果。即使主要部分是非线性的，也已经获得了极值函数存在的充分必要条件，预计从明年开始进行研究。针对第二个问题，我们研究了椭圆偏微分算子混合边值问题在整个边界或部分边界上发生退化且退化方式不一定均匀时的可解性。今年围绕诺伊曼型和狄利克雷型条件进行了格林函数的构造和评价，详细研究了经典解的存在性和规律性。关于第三个问题，下村等人描述了保留热方程解的变换。从1997年起，我们计划在上述成果的基础上进一步开展简并椭圆算子的研究。