A new refinement allowing infinite-order degeneration and explosion of weighted classical inequalities and its application to variational problems

允许加权经典不等式的无限阶退化和爆炸的新改进及其在变分问题中的应用

基本信息

批准号：
20K03670
负责人：
堀内利郎
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Ibaraki University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

「重み付き古典的不等式の無限次退化や爆発を許容する新しい精密化と変分問題への応用」を中心課題とし、重み付き古典的不等式を介して有機的に関連する次の４つの研究目的を設定しているので、それぞれの研究目的に関する研究実績の概要を記述する。1.領域の境界で無限次退化や爆発を許容する重み付き Hardy 不等式の確立と精密化の研究：今年度は,高次元の場合に一般の重みに対して片側境界条件の下でHardy不等式を構築した。この場合にも重み関数が無限次の退化や爆発が許されることが証明された。それら結果は論文として纏められ既に発表されている。2.領域の境界で無限次退化や爆発をする非線形楕円型作用素に関する変分問題の研究：1の結果可能になった研究であり、優臨界の場合を含む変分問題が研究された。その結果は学会等で発表され、論文は査読中である。3.Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式の新しい精密化の研究：前年度において,1次元の場合に無限次の退化や爆発を許す場合にCaffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式が成立することが示されたことを受け、それらを高次元の場合に拡張する研究が行われた。その結果、無限次の退化や爆発を許す場合に不等式が成立するための必要十分条件が求められ、その結果が論文として発表された。また、p=1の場合と最良定数の達成可能性の研究が進行中である。4.加藤の不等式の新しい精密化とその強最大値原理への応用の研究：これまでの研究で「準線形作用素に対して境界まで込めた加藤の不等式」が確立されているので、重み付きの場合への拡張や最大値原理への応用を引き続き研究された。さらに、一般のレリッヒ型の不等式の研究が開始された。

中心主题是“允许加权经典不等式无限简并和爆炸的新改进及其在变分问题中的应用”，以下四个研究目标通过加权经典不等式有机地联系在一起，既然我们已经确定了研究目标，那么我们将提供以下四个研究目标。每个研究目的的研究结果概述。 1. 研究建立和完善允许域边界无限简并和爆炸的加权Hardy不等式：今年，我们将在高维情况下建立一般权重的单边边界条件下的Hardy不等式。在这种情况下，也已经证明允许加权函数退化或爆炸到无限程度。研究结果已汇编成论文并已发表。 2. 研究在域边界处经历无限简并或爆炸的非线性椭圆算子的变分问题：该研究由于步骤1而成为可能，并且研究了包括超临界情况的变分问题。结果已在学术会议上公布，该论文目前正在接受同行评审。 3. Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式的新改进研究：前一年证明，在一维情况下允许无限阶退化和爆炸时，Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式成立。针对这一点，已经进行了研究以将其扩展到更高维度的情况。从而确定了允许无限度退化和爆炸时不等式成立的充要条件，并将结果以论文形式发表。此外，关于 p=1 的情况和最佳常数的可实现性的研究正在进行中。 4. 加藤不等式的新细化及其在强极大值原理中的应用研究：由于前人的研究已经建立了“加藤不等式包括拟线性算子的边界”，加权他继续研究对强极大值原理的推广的情况，及其对最大值原理的应用。此外，开始了对一般勒利希型不等式的研究。