Arithmetic research of hypergeometric differential equation and its Schwarz map

超几何微分方程及其Schwarz图的算术研究

• 批准号: 17540011
• 负责人: SHIGA Hironori
• 金额: $ 2.43万
• 依托单位: Chiba University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2005
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2005 至 2007
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-17540011/
• 关键词: Arithmetic Geometric Mean; Schwarz map; Period Map; Picard Modular form; Hypergeometric Function; Abelian variety; Complex multiplication; アーベル多様体の虚数乗法; 超幾何微分方程式; 保型形式; 周期; テータ函数; 超幾何函数

1) In 1991 Jonathan and Peter Borweins have discovered a nice variant of the GaussAGM (Arithmetic Geometric Mean). It has been an almost unique nice result about GauasAGM. There is no successful study about AGM functions in several variables. In our project we have succeeded to established an AGM function of two variables that is an extension of Borweins' result See the article on J. N. T. 2007.2) We made an investigation on the values of the Schwarz map of the Gauss hypergeometric differential eqations. It can be regarded as a ratio of periods of corresponding hypergeometric curves of the differentioal of the second kind. In our study we fixed the family of hypergeometric curves. And we considered the albebraic values of the Schwarz maps At algebraic points for various differentials of the second kind at a same time. We obtained a general results and some illustrating Examples. See the article Birkhauser Monograph 2007.3) Together with graduate students of the head investigator we made a study of the Schwarz map for the hypergeometric Differential equations of several variables. We obtained some analogous results as 2). The article is under preparation. And We made a investigation about the period map of families of algebraic K3 surfaces. Especially a family with some specific Transcendental lattice of rank 4. That is parametrized by a Hilbert modular surface for the square root of 2. This study is now in Preparation also.

1) 1991 年，Jonathan 和 Peter Borweins 发现了 GaussAGM（算术几何平均数）的一个很好的变体。这对于 GauasAGM 来说是一个几乎独一无二的好结果。目前还没有关于 AGM 函数在多个变量中的成功研究。在我们的项目中，我们成功地建立了两个变量的 AGM 函数，它是 Borweins 结果的扩展（参见 J. N. T. 2007.2 上的文章）我们对高斯超几何微分方程的 Schwarz 图的值进行了研究。它可以被视为第二类微分的相应超几何曲线的周期之比。在我们的研究中，我们修复了超几何曲线族。我们同时考虑了各种第二类微分的 Schwarz 映射在代数点上的代数值。我们获得了一般结果和一些说明性示例。参见文章 Birkhauser Monograph 2007.3）我们与首席研究员的研究生一起研究了多个变量的超几何微分方程的 Schwarz 图。我们得到了一些与 2) 类似的结果。文章正在准备中。并对代数K3曲面族的周期图进行了研究。特别是具有某些特定的 4 阶超越晶格的族。它由 2 的平方根的希尔伯特模曲面参数化。这项研究现在也正在准备中。

项目成果

Complex Function Theory (in Japanese)

复变函数论（日语）

• 发表时间: 2008
• 期刊: Sugakushobou
• 作者: Koike;K. and Shiga;H.;H.shiga
• 通讯作者: H.shiga

A three terms arithmetic-geometric mean

三项算术几何平均数

• 发表时间: 2005
• 期刊: Chiba Technical Report Vol.21-1
• 作者: Shiga;H;K.Koike
• 通讯作者: K.Koike

Extended Gauss AGM corresponding Picard modular forms

扩展高斯 AGM 对应的皮卡德模块化形式

• 发表时间: 2007
• 作者: Shuga;H;K.Koike;Shiga. H.;H. Shiga
• 通讯作者: H. Shiga

Isogeny formulas for the Picard modular form and a three terms arithmetic geometric mean

皮卡德模形式的同源公式和三项算术几何平均值

• 期刊: J. Number Theory (accepted)
• 作者: Kaifu;Y.;K. Koike and H. Shiga
• 通讯作者: K. Koike and H. Shiga

15週で学ぶ複素関数論

15 周学习复变函数理论

• 发表时间: 2006
• 作者: Sasaki K;Natsugoe S;Ishigami S;Matsumoto M;Okumura H;Setoyama T;Uchikado Y;Kita Y;Tamotsu K;Hanazono K;Owaki T;Aikou T.;豊嶋崇徳;新井仁之;Amagai M;志賀弘典
• 通讯作者: 志賀弘典