2次元の結び目とブレイドの研究

二维结和辫子的研究

基本信息

批准号：
05740066
负责人：
鎌田聖一
金额：
$ 0.51万
依托单位：
Osaka City University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1993
资助国家：
日本
起止时间：
1993 至 1994
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-05740066/
关键词：
結び目ブレイド 2次元結び目 2次元ブレイド

项目摘要

当初はスムーズカテゴリーでの2次元ブレイドをチャート表示やベータシステムを用いて扱っていたが、当研究では、PLカテゴリーでの2次元ブレイドのベータシステムによる特徴付けに成功した。PLカテゴリーに於ては2次元ブレイドと2次元絡み目に関するマルコフの定理が当研究代表者により確立されているので、これにより2次元結び目・2次元絡み目の不変量の代数的な構成に一歩近づいたといえる。また、これによって2次元ブレイドについては二つのカテゴリーは本質的に異なることの例を見つけた。実際スムーズカテゴリーでの2次元ブレイドはすべてが単純な2次元ブレイドに変形できるのに対して、PLカテゴリーでの2次元ブレイドでは単純な2次元ブレイドに変形できないものが存在することが分かった。この発見とそれに関する研究は2次元ブレイド及び高次元ブレイドの研究にとって極めて重要である。当初予定していた2次元のブレイドや射影図を通して2次元の結び目‐絡み目の研究を行い、それらと表現論、統計物理、量子群等との関連についての研究については、ブレイド群のBurau表現を用いて2次元ブレイドの不変量の構成に成功した。これは2次元ブレイドの共役変形も区別ができるかなり強力な不変量である。この方面の研究は現在も実行中である。またベータシステムを用いた2次元ブレイドの表の作成も今後引き続き実行される。

最初，使用图表显示和 beta 系统来处理平滑类别中的二维辫子，但在本研究中，我们成功地使用 beta 系统来表征 PL 类别中的二维辫子。在PL类别中，我们的研究代表建立了关于2D辫子和2D链接的马尔可夫定理，这是迈向2D结和2D链接不变量的代数构造的一步，可以说我们已经接近了。这也引出了一个例子，说明两类二维刀片有何本质区别。事实上，我们发现，虽然平滑类别中的所有 2D 叶片都可以转化为简单的 2D 叶片，但 PL 类别中的某些 2D 叶片无法转化为简单的 2D 叶片。这一发现及相关研究对于二维和高维叶片的研究极为重要。我们原本计划通过二维辫子和投影图来研究二维结，并利用辫子群的Burau表示研究它们与表示论、统计物理、量子群等的关系，我们成功了。使用构造二维刀片的不变量。这是一个相当强的不变量，也可以区分二维叶片的共轭变形。目前这个方向的研究正在进行中。此外，未来还将继续使用测试系统创建二维刀片表。