非有界作用素による可換Banach環の代数的及び位相的構造の研究

具有无界算子的交换Banach代数的代数和拓扑结构研究

• 批准号: 15740082
• 负责人: 三浦 毅
• 金额: $ 2.18万
• 依托单位: Yamagata University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2005
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15740082/
• 关键词: 可換Banach環; 極大イデアル空間; 非有界作用素; 環準同型写像; 微分作用素; Hyers-Ulam stability

まず微分作用素の安定性に関しては,微分方程式y'(t)+p(t)y(t)+q(t)=0を考え,この方程式に対応する微分作用素(Tf)(t)=f(t)+p(t)f(t)+q(t)がHyers-Ulam-Rassias stabilityをもつことを示した.この結果は既出のT.Miura, S.-M.Jung and S.-E.Takahasiの定理を一般化するとともに,さらにより簡単な証明によって示されることを述べた.さらに微分作用素よりも広い,Hilbert空間上の閉作用素に対しては,Hyers-Ulamの意味での安定性が成り立つための,いくつかの必要十分条件を与え,安定性に関する最良定数を決定した.この結果は既に知られている,Banach空間上の有界作用素がHyers-Ulamの意味で安定性を有するための必要十分条件が,空間をHilbert空間に限定すれば,実は非有界作用素に対してもそのまま安定性を特徴付ける条件になることを示している.Banach空間上の有界作用素に対しては,安定性の最良定数が存在しない例が知られている.したがって非有界作用素に対しても安定性の最良定数が存在することは期待できないが,Hilbert空間上の作用素であれば必ず最良定数が存在し,その定数がある種の逆写像の作用素ノルム,あるいはlower boundと呼ばれる既存の量と一致することも示した.一般の可換Banach環上には微分作用素を定義することは不可能であるが,derivationと呼ばれる微分作用素に対応する写像は古くから研究対象とされている.Derivationをさらに一般化したring derivationに対しては,より強い意味での安定性が成り立つことを示した.より正確に述べれば,近似的なring derivationは実はring derivationであることが分かったのである.言い換えればring derivationの摂動は本質的には存在し得ないのである.さらに環準同型写像の構造に関連して,関数環上の同型写像をスペクトルで特徴付けることに成功した.この結果はMolnarの結果を大幅に拡張するものであるが,関連した結果も発表されていることから,世界的に注目を集めている研究分野であるといえる.その中で関数環上の結果を,さらに可換Banach環上の等距離同型写像の特徴づけにまで拡張することが出来た.これらの諸結果は,しかるべき雑誌に掲載済みもしくは掲載予定であるので,詳細については下記の研究発表欄を参照されたい.

首先，关于微分算子的稳定性，考虑微分方程y'(t)+p(t)y(t)+q(t)=0，以及该方程对应的微分算子(Tf)(t) =f 我们证明 (t)+p(t)f(t)+q(t) 具有 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性。该结果基于 T. Miura、S.-M Jung 和除了推广S.-E Takahasi定理外，我们还指出它可以通过更简单的证明来证明。此外，对于比微分算子更广泛的希尔伯特空间上的闭算子，我们有Hyers-Ulam的含义。在我们给出了稳定性成立的一些充分必要条件，并确定了关于稳定性的最佳常数。这个结果是已知的，并且很明显，Banach 空间上的有界算子在 Hyers-Ulam 意义上是稳定的。拥有这表明，如果空间仅限于希尔伯特空间，则即使对于无界算子，该条件实际上也成为表征稳定性的条件。对于巴纳赫空间上的有界算子，我知道一个没有最佳常数的例子的稳定性。因此，即使对于无界算子，也不能期望存在最佳稳定性常数，但对于希尔伯特空间上的算子来说，总是存在一个最佳常数，并且该常数是 的某个逆映射或更低。我们还证明它与一个称为界的现有量相一致。尽管不可能在一般交换巴纳赫代数上定义微分算子，但与微分算子相对应的映射（称为导数）长期以来一直是我们的研究课题。表明更强意义上的稳定性适用于环求导，这是一个更广义的求导版本。更准确地说，近似环求导实际上是环原来是求导。也就是说，环推导中的扰动本质上是不存在的。此外，关于环同态的结构，我们成功地用谱表征了函数环上的同构。这个结果大大超过了Molnar的结果，但自从相关结果发表以来，它受到了全世界的关注。 。可以说，这是一个备受关注的研究领域。在这项研究中，我们能够将函数环上的结果扩展到交换 Banach 环上的等距同构的表征。这些结果是，自从发表或计划在适当的期刊上发表，请参阅下面的研究演示部分了解详细信息。

项目成果

Note on the Hyers-Ulam-Rassias stability of the first order linear differential equation y'(t)+p(t)y(t)+q(t)=0

关于一阶线性微分方程 y(t) p(t)y(t) q(t)=0 的 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性的注记

• 期刊: Nonlinear Funct.Anal.Appl. (近刊(印刷中))
• 作者: Takeshi Miura;Go Hirasawa;Sin-Ei Takahasi
• 通讯作者: Sin-Ei Takahasi

On Wirtinger's inequality and its elementary proof

论维廷格不等式及其基本证明

• 发表时间: 2007
• 期刊: J. Math. Anal. Appl. 10
• 作者: Sin-Ei Takahasi;Takeshi Miura and Takahiro Hayata
• 通讯作者: Takeshi Miura and Takahiro Hayata

T.Miura, S.Miyajima, S.-E.Takahasi: "Hyers-Ulam stability of linear differential operator with constant coefficients"Mathematische Nachrichten. 258. 90-96 (2003)

T.Miura、S.Miyajima、S.-E.Takahasi：“常系数线性微分算子的 Hyers-Ulam 稳定性”Mathematische Nachrichten。

S.-E.Takahasi, T.Miura, O.Hatori: "A note on commutative Gelfand theory for real Banach algebras"Mathematical Journal of Okayama University. 近刊.

S.-E.Takahasi、T.Miura、O.Hatori：“关于实巴拿赫代数的交换格尔凡德理论的注释”冈山大学数学杂志即将出版。

T.Miura, S.-E.Takahasi, G.Hirasawa: "Hyers-Ulam-Rassias stability of Jordan homomorphisms on Banach algebras"Archives of Inequalities and Applications. 近刊.

T. Miura、S.-E. Takahasi、G. Hirasawa：“Banach 代数上 Jordan 同态的 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性”即将发表的不等式和应用。