部分構造反復法による3次元ストークス問題ソルバーの開発と実装

使用子结构迭代方法开发和实现 3D Stokes 问题求解器

基本信息

批准号：
15740065
负责人：
鈴木厚
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Kyushu University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2004
项目状态：
已结题

项目摘要

ストークス問題では,滑り境界条件を課す場合があり,解は剛体回転の自由度と圧力の不定性自由度を含む.この自由度を取り除くために線形拘束を用いるが,これは関数空間の制約として取り扱う.全節点自由度の空間からの制限を実現する正射影によりアルゴリズムを構成することができる.有限要素剛性行列は全節点に自由度を持つ有限要素基底を用いて生成することができ,手続きが簡単である.この行列自身の正則性は考える必要がなく,線形拘束をみたす制約付き空間の上での正則性,すなわち正射影を行列の両辺に作用させたものの正則性を議論することで十分であり,これは有限要素解の一意性から自然に導かれる.得られた連立一次方程式は正射影付きクリロフ部分空間法(特に共役勾配法)を用いて解くことができる.行列・ベクトル積とベクトル加減算に正射影を付加するプログラム実装を行うことで,数値誤差の蓄積を防ぎ,制約付き空間のなかでクリロフ部分空間法を実行することができる.部分構造反復法では部分領域内部の自由度を消去し,内部境界上の自由度の方程式に変換する.このためには部分領域での係数行列の成分を知る必要があるが,正射影を伴う有限要素方程式では,成分の値を陽に得ることは難しい.正射影作用素を領域分割に対応して分割することで,有限要素方程式に対する汎用的な部分構造反復法を構成した.各部分領域で,領域毎に線形拘束を課すことで,行列成分を陽に必要とする問題を回避できるが,過剰な制約となってしまうため,全体領域で拘束条件の自由度に対応する問題を付加する.これにより内部境界上での問題の正則性が保たれることがわかった.この手法によるストークス方程式の部分構造反復法に,弾性体問題に対して優れた収束特性をもつバランシング前処理(BDD法)を導入した.BDD法はPavarin-Widlund[2002]によって圧力に不連続要素を用いるQ2/QO要素の有限要素近似に拡張されているが,圧力に連続要素を用いるP1/P1安定化近似に対してアルゴリズムを構築した.

在斯托克斯问题中，可能会施加滑移边界条件，并且解包括刚体旋转的自由度和压力的不确定自由度。使用线性约束来消除这些自由度，但这是一个函数空间约束。从所有节点自由度的空间实施约束。可以使用表示有限元刚度矩阵的正交投影构建算法。可以使用所有节点都有自由度的有限元基础来生成有限元刚度矩阵，并且过程简单。该矩阵本身的规律性是不需要思考，有满足线性约束的约束讨论空间上的规律性就足够了，即正交投影作用于矩阵两侧的规律性，这自然是由有限元解的唯一性得出的。对于线性方程，使用正交的克雷洛夫子空间方法。投影（尤其是共轭梯度法）通过实现将正交投影添加到矩阵向量乘积和向量加法/减法的程序，可以防止数值误差的累积并在受限空间中执行克雷洛夫子空间方法在子结构迭代方法中，子区域。消除内部自由度，将其转换为内部边界上有自由度的方程。为此，需要知道子域中系数矩阵的分量，但在正交投影的有限元方程中，组件很难显式获取该值。我们通过将方程划分为子域，构建了有限元方程的通用子结构迭代方法。通过对每个子域施加线性约束，我们可以避免显式要求矩阵分量的问题，从而导致过多的约束，因此约束条件为不能在整个地区实现自力更生。结果发现，该方法保持了问题在内部边界上的规律性。利用该方法的Stokes方程的子结构迭代方法对于弹性体问题具有极好的效果。我们引入了一种具有收敛特性的平衡预处理方法（BDD方法）。。 Pavarin-Widlund [2002]已将 BDD 方法扩展到使用压力的不连续元素的 Q2/QO 元素的有限元近似，但对于使用压力的连续元素的 P1/P1 稳定近似，我们构建了一种算法。