部分構造反復法による3次元ストークス問題ソルバーの開発と実装

使用子结构迭代方法开发和实现 3D Stokes 问题求解器

• 批准号: 15740065
• 负责人: 鈴木 厚
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15740065/
• 关键词: 部分構造反復法; バランシング前処理; 正射影付き有限要素方程式; 安定化有限要素法; 共役勾配法; 合同な部分領域; 部分構造反復法; バランシング前処理; 正射影付き有限要素方程式; 安定化有限要素法; 共役勾配法; 合同な部分領域

ストークス問題では,滑り境界条件を課す場合があり,解は剛体回転の自由度と圧力の不定性自由度を含む.この自由度を取り除くために線形拘束を用いるが,これは関数空間の制約として取り扱う.全節点自由度の空間からの制限を実現する正射影によりアルゴリズムを構成することができる.有限要素剛性行列は全節点に自由度を持つ有限要素基底を用いて生成することができ,手続きが簡単である.この行列自身の正則性は考える必要がなく,線形拘束をみたす制約付き空間の上での正則性,すなわち正射影を行列の両辺に作用させたものの正則性を議論することで十分であり,これは有限要素解の一意性から自然に導かれる.得られた連立一次方程式は正射影付きクリロフ部分空間法(特に共役勾配法)を用いて解くことができる.行列・ベクトル積とベクトル加減算に正射影を付加するプログラム実装を行うことで,数値誤差の蓄積を防ぎ,制約付き空間のなかでクリロフ部分空間法を実行することができる.部分構造反復法では部分領域内部の自由度を消去し,内部境界上の自由度の方程式に変換する.このためには部分領域での係数行列の成分を知る必要があるが,正射影を伴う有限要素方程式では,成分の値を陽に得ることは難しい.正射影作用素を領域分割に対応して分割することで,有限要素方程式に対する汎用的な部分構造反復法を構成した.各部分領域で,領域毎に線形拘束を課すことで,行列成分を陽に必要とする問題を回避できるが,過剰な制約となってしまうため,全体領域で拘束条件の自由度に対応する問題を付加する.これにより内部境界上での問題の正則性が保たれることがわかった.この手法によるストークス方程式の部分構造反復法に,弾性体問題に対して優れた収束特性をもつバランシング前処理(BDD法)を導入した.BDD法はPavarin-Widlund[2002]によって圧力に不連続要素を用いるQ2/QO要素の有限要素近似に拡張されているが,圧力に連続要素を用いるP1/P1安定化近似に対してアルゴリズムを構築した.

在Stokes问题中，可以施加滑动边界条件，解决方案包括刚体旋转的自由度和无限期的压力自由度。线性约束用于删除这些自由度，该自由度被视为功能空间中的约束。该算法可以通过正交投影构建，这些预测从所有节点的空间中实现约束。有限元刚度矩阵可以使用有限元基础具有所有节点的自由度，从而可以简单地进行。该矩阵本身的规律性不是必需的，并且具有限制线性约束的约束。足以讨论空间上的规律性，即适用于矩阵两侧的正交投影的规律性，这是从有限元解决方案的唯一性中自然得出的。可以使用正交Kryloff子空间法（尤其是共轭梯度方法）来求解所获得的线性方程。通过实施一个程序以将正交预测添加到矩阵/向量产品和向量加法/减法中，可以防止数值错误的积累并在约束空间中实现Kryloff子空间方法。在子结构迭代方法中，可以在子结构迭代方法中使用部分域。消除内部自由度，并将其转换为内部边界上自由度的方程式。为此，有必要了解子区域系数矩阵的组件，但是很难在具有正交投影的有限元方程中明确获得组件的值。通过将与区域划分对应的正射算子划分，构建了有限元方程的通用子结构迭代方法。通过对每个子区域的每个区域施加线性约束，可以避免明确要求矩阵组件的问题，但是这会导致过度约束，因此约束条件在整个区域中。添加与原因相对应的问题。发现这在内部边界上保持了问题的规律性。该方法使用Stokes方程的子结构迭代方法引入具有出色收敛性能的平衡预处理（BDD方法），以解决弹性身体问题。 Pavarin-Widlund [2002]将BDD方法扩展到使用压力中的不连续元素的Q2/QO元素的有限元近似，但是使用压力连续元件构建了用于P1/P1稳定近似值的算法。