道やループの空間の上での確率解析

道路和环路空间的概率分析

• 批准号: 03J03705
• 负责人: 稲浜 譲
• 金额: $ 2.18万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for JSPS Fellows
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2005
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-03J03705/
• 关键词: ループ空間; 確率過程; 確率微分方程式; ラフパス解析; ラプラスの方法; 大偏差原理; 確率テーラー展開; バナッハ空間; 確率解析; rough path理論; マリアヴァン解析; ブラウン運動; スペクトル理論

本年度は主にラフパス理論とよばれる新分野について研究した。これは、約10年まえにT.Lyonsにより創始されたもので、常微分方程式の概念を拡張することにより、確率微分方程式を非ランダム化してしまう理論である。有限次元の場合などを含め、主要な場合は確率微分方程式と守備範囲が重なっているが、正確には、守備範囲がややずれている。たとえば、無限次元のバナッハ空間上ではラフパス理論は問題なく働くものの、確率微分方程式は一般にはうまくいかないことが知られている。私が今回研究したループ空間上の確率過程というのはまさにそういった例になっており、ラフパス理論を持ち出す必然性があると言える。なお、具体的な無限次元の確率過程にラフパス理論を適用したのは、私(と共著者)の研究が初めてであり、ある種の方向性を示したと言えると思う。より具体的な研究内容は、ラフパス理諭の枠組みの中で、大偏差原理やその精密化であるラプラスの方法などを示したことである。なおこの種の極限定理は確率論では、非常に有名であり、いわば「定番」である。特にラプラスの方法は、ラフパス理論の中でははじめて証明されたように思う。今回計算したのは、極限の最初の項だけであるが、現在は任意有限個の漸近展開を求めるべく努力中である。特に、具体例としてループ空間の場合では、この研究によりFang-Zbangによるループ群の場合の結果が極めて簡単に別証明できる上に、はるかに一般の場合にまで拡張できることがわかった。ラプラスの方法に関しては、ループ空間上では自明な場合を除けば、初めての結果であるように思う。なお、ラプラスの方法の証明中で重要な役割をはたす確率テーラー展開が、非常に重要であることがわかった。今回は大変原始的な形でしか証明していないが、この確率テーラー展開を一般的な形でまとめることが、この次の課題である。確率微分方程式の場合では、確率テーラー展開もウィーナー測度という測度の選び方に依存しているが、ラプラスの方法では完全に非ランダムに(確率)テーラー展開を証明できるために、きれいにまとめることはかなり重要であるように思う。

今年，我们研究了新领域，主要称为粗糙通道理论。这是大约10年前由T.LYONS建立的理论，是通过扩展恒定微分方程的概念来对概率微分方程进行的非授权。在主要维度的情况下，概率微分方程和防御范围是重叠的，但是确切地说，防御范围略有不同。例如，众所周知，粗糙的通道理论在Banach的无限维度中没有任何问题，但是概率分化方程通常很困难。我这次我研究的循环空间中的概率过程就是一个例子，可以说不可避免地提出一个粗糙的通道理论。此外，这是我第一次将粗糙的通行理论应用于特定的无限随机过程，我认为这是我（Co -author）研究第一次展示了一定的方向。更具体的研究内容是，在Raf Pass的框架中，显示了巨大偏差的原理和Laplace的方法，这是其精确度。另外，这种极端原因在概率理论中非常有名，可以这么经典。特别是，拉普拉斯（Laplace）的方法似乎是在ruffs理论中首次得到证明的。这次，仅计算了极端的第一项，但是我们目前正在努力寻求发达的无症状。特别是，在循环空间为特定示例的情况下，本研究表明，fang-zbang的循环组结果可能非常容易证明，并且可以将其扩展到更普通的。关于拉普拉斯的方法，这似乎是第一个结果，除非在循环空间中自我偏见。事实证明，在拉普拉斯方法的证明中发展重要作用非常重要。这次，这只是一种非常原始的形式，但这是总结以一般形式量身定制的概率量身定量的下一个挑战。在概率微分方程的情况下，概率量身定制的部署还取决于如何选择WeeEner测量的测量值，但是在Laplace方法中，非常重要的是将其整齐地总结，因为它可以完全非random（概率性） ）裁缝部署。

项目成果

Logarithmic Sobolev inequality for $H_0^s$-metric on pinned loop groups

固定循环组上 $H_0^s$ 度量的对数 Sobolev 不等式

• 发表时间: 2004
• 期刊: Infin.Dimens.Anal.Quantum Probab.Relat.Top. 7
• 作者: Yuzuru Inahama;Yuzuru Inahama;Yuzuru Inahama;Yuzuru INAHAMA
• 通讯作者: Yuzuru INAHAMA

Yuzuru Inahama: "Eigenvalue asymptotics for the Shrodiger operators on the hyperbolic plane"J.Funct.Anal.. (to appear).

Yuzuru Inahama：“双曲平面上 Shrodiger 算子的特征值渐近”J.Funct.Anal..（即将出现）。

Large deviations for heat kernel measures on loop spaces Via rough paths

循环空间上热核测量值的较大偏差 通过粗糙路径

• 发表时间: 2006
• 期刊: Journal of London Mathematical Society 73・2
• 作者: Y.Inahama;et al.
• 通讯作者: et al.

Laplace's method for the laws of heat processes on loop spaces

环空间热过程定律的拉普拉斯方法

• 发表时间: 2006
• 期刊: J.Funct.Anal. (In press)
• 作者: Yuzuru Inahama;Yuzuru Inahama
• 通讯作者: Yuzuru Inahama

Yuzuru Inahama: "Eigenvalue asymptotics for the Shrodiger operators on the reed and the complex hyperbolic spaces"J.Math. Pures Appl.. (to appear).

Yuzuru Inahama：“簧片和复双曲空间上 Shrodiger 算子的特征值渐近”J.Math。