非線形分散型方程式の孤立波の安定性の研究

非线性色散方程孤波稳定性研究

• 批准号: 14740106
• 负责人: 水町 徹
• 金额: $ 1.92万
• 依托单位: Kyushu University (2004)Yokohama City University (2002-2003)
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14740106/
• 关键词: 非線形シュレディンガー方程式; 高エネルギー定常波解; 極限形; 不安定性; NLS; BBM; 漸近安定性; スピンをもつ定常波解

昨年度に引き続き,非線形シュレディンガー方程式(1)iu_t+Δu+f(u)=0 (t,x)∈R×R^n,のスピンをもつ定常波解の安定性を研究した。方程式(1)はレーザー光のモデル方程式の一つであり,uを(1)の解とすると|u|はレーザー光の強さを表すことが知られている.f(u)=|u|^<p-1>uという形の非線形項の場合,エネルギーの最も低い定常波解(ground state)は、非線形項の冪が1<P<P_c=1+4/nならば安定、p【greater than or equal】p_cならば不安定性であることが知られている.高エネルギー定常波解はground stateに比べ不安定になり易いと考えられるが,現在まで1<p<p_cの場合に不安定な高エネルギー定常波解は見つかっていない.本研究では,空間2次元の場合に,極座標で表すと(2)e^<imθ>w(r) (m∈N)の形で表されるスピンをもつ解のうち結節線を持たない定常波解の,Ambrosetti-Malchiodi-Ni('03)の方法に従ってm→∞での極限形を計算し,P【greater than or equal】2でmが十分大きな場合にはが(2)の形の解が線形不安定になることを示した.昨年度までの研究により,線形不安定な解は不安定なことがわかっているので,これで2【less than or equal】p<p_cの場合に不安定な解が構成できたことになる.従来知られている不安定な解はすべてGrillakis-Shatah-Strauss'87らの不安定性の判定条件を満たすものであるが,今回構成した不安定定常波解は,この条件を満たさないものとなっている.

从去年开始，我们研究了使用非线性Schrödinger方程的旋转（1）IU_T+ΔU+F（u）= 0（t，x）∈R×r^n的稳定性。等式（1）是激光的模型方程之一，当u是（1）的解决方案时，| u |已知代表激光的强度。在f（u）= | u |^<p-1> u的非线性项的情况下，如果非线性项的功率为1 <p <p_c = 1+4/n，则最低的能量常驻波解决方案是稳定的，如果p [大于或相等] p_c，则不稳定。据认为，高能量常驻波解决方案比基态更不稳定，但是迄今为止，在1 <p <p_c的情况下找不到高能量常驻波解决方案。 In this study, when the spatial two-dimensional case is expressed in polar coordinates, e^<imθ>w(r) The limit form of m→∞ was calculated according to the method of Ambrosetti-Malchiodi-Ni ('03) for a stationary wave solution with no nodal lines, and when m is sufficiently large with P[greater than or equal]2, the solution of the form (2) becomes linearly unstable.直到去年的研究表明，线性不稳定的解决方案是不稳定的，这允许当2 [最少或相等] p <p_c时建立不稳定溶液的结构。所有先前已知的不稳定溶液都满足了确定Grillakis-Shatah-Strauss'87等人的不稳定性的条件，但是这次构建的不稳定的驻波溶液无法满足这种情况。

项目成果

Tetsu Mizumachi: "Weak interaction between solitary waves generalized LdV equations"SIAM Journal on Mathematical Analysis. 35(4). 1042-1080 (2003)

Tetsu Mizumachi：“孤立波之间的弱相互作用广义 LdV 方程”SIAM 数学分析杂志。

Tetsu Mizumachi: "Weak Interaction between Solitary Waves of the generalized Kdv equations"SIAM Journal of Mathematical Analysis. (掲載予定).

Tetsu Mizumachi：“广义 Kdv 方程的孤立波之间的弱相互作用”SIAM 数学分析杂志（待出版）。

Vortex solitons for 2D focusing NLS

用于 2D 聚焦 NLS 的涡旋孤子

• 发表时间: 2005
• 期刊: Differential and Integral Equations 18(4)
• 作者: Tetsu Mizumachi

Tetsu Mizumachi: "Asymptotic stability of solitary wave solutions to regularized long wave equation"Journal of Differential Equations. 未定.

Tetsu Mizumachi：“正则化长波方程的孤立波解的渐近稳定性”微分方程杂志待定。

Instability of bound states for 2D NLS

二维 NLS 束缚态的不稳定性

• 期刊: Discrete and Continuous Dynamical Systems (A) (掲載予定)
• 作者: Tetsu Mizumachi;Tetsu Mizumachi;Tetsu Mizumachi
• 通讯作者: Tetsu Mizumachi