ゼータ関数の普遍性-その一般化と定量化

zeta 函数的普适性 - 其概括和量化

基本信息

批准号：
02J05525
负责人：
見正秀彦
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2002
资助国家：
日本
起止时间：
2002 至 2003
项目状态：
已结题

项目摘要

リーマン・ゼータ関数に代表されるゼータ・L関数は整数論における重要な研究対象である。その解析的性質を調べる方向性は大きく分けて2つある。一つは零点の分布を調べるというもので、そこから素数定理などの重要な結果が得られる。もう一つは、全体の値分布を調べるという、ゼータ関数のより解析的な性質に注目した方向である。後者の研究で得られた最も興味深い結果の一つに、リーマン・ゼータ関数ζ(s)の普遍性がある。これは任意の正則関数はζ(s)の適当な垂直方向への平行移動ζ(s+it)(t:実数)によりコンパクト一様近似できるというものである。このように、何か一つのパラメータを動かすことにより任意の関数をゼータ関数で近似することを普遍性と呼ぶことにする。私が取り組んだのは、"平行移動"t以外にどのようなパラメータを動かせば普遍性は成立するか、という問題である。最初に取り組んだのは代数体上の量指標に付随するHecke L関数である。採用以前に得た。虚二次体上のHecke L関数について量指標の巾とtとを同時に動かした時、普遍性が成立する、という結果を一般体上に拡張した。その過程で得た量指標の一種の直交性を用い、複素変数をある領域内に固定した時、指標の巾を動かした時のL関数の値分布は、複素平面内で稠密になるという結果を得た。その後、新潟大学の名越氏と共に、実指標に付随するDirichlet L関数を研究した。平方相互律までの代数的な結果を用いて普遍性を証明した。又、その応用として二次体の類数分布の一様性を得た。以上の成果を学会、研究集会で発表後、単著論文3編、共著論文3編にまとめ雑誌社に投稿した。現在、一遍が掲載決定している。

以黎曼zeta函数为代表的Zeta-L函数是数论中的重要研究对象。研究其分析特性有两种主要方法。一是研究零点的分布，从中可以获得素数定理等重要结果。另一个方向是关注 zeta 函数的更多分析特性，它检查整体值分布。后一项研究中获得的最有趣的结果之一是黎曼 zeta 函数 z(s) 的普适性。这意味着任何正则函数都可以通过 z(s) z(s+it)（t：实数）的适当垂直平移来紧凑一致地近似。这样，通过改变一个参数，用zeta函数逼近任意函数，就称为普适性。我解决的是除了“平行运动”之外还应该改变哪些参数以实现普遍性的问题。我研究的第一件事是与代数域上的数量指标相关的 Hecke L 函数。入职前获得。对于虚二次域上的 Hecke L 函数，我们扩展了当数量索引的宽度和 t 同时移动到一般域时普适性成立的结果。利用过程中获得的数量指标的一种正交性，当复数变量固定在某个区域内时，改变指标宽度时L函数的值分布在复平面内变得密集。。后来我和新泻大学的名越先生一起研究了与真实指标相关的狄利克雷L函数。我们使用代数结果直至平方倒数证明了它的普遍性。此外，作为其应用，我们获得了二次域类数分布的均匀性。在学术会议和研究会议上展示上述成果后，我们整理了三篇单人论文和三篇合作论文，并提交给杂志。目前，《Ippen》已经决定出版。