普遍性を主題としたDirichlet級数の解析の性質の解明

以普适性为主题阐明狄利克雷级数分析性质

基本信息

批准号：
18840043
负责人：
見正秀彦
金额：
$ 1.13万
依托单位：
Ube National College of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (Start-up)
财政年份：
2006
资助国家：
日本
起止时间：
2006 至 2007
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-18840043/
关键词：
代数学関数論解析的整数論

项目摘要

有理数体に1の3乗根を添加して得られる虚二次体をKとおく。K上、立方剰余記号がGaussにより導入され、更にEisensteinにより同記号の相互剰余法則が証明された。立方剰余記号に付随するK上のHecke L関数を以下、cubic L関数と呼ぶ。現在cubic L関数の解析的側面からの研究はW.LuoによるNon-vanishing問題やH.Xiaによる零点密度定理などが知られている。以前、私は名越弘文氏と共にGaussの平方剰余相互律を用いる事で平方剰余記号に付随するDirichlet L関数の普遍性を証明する事に成功した。その過程で得た手法を元に、今年度cubic L関数の値分布の研究に着手した。その結果、Eisensteinの立方剰余相互法則とD.R.Heath-Brownの立方剰余記号についてのlarge sieve inequalityを応用することによりcubic L関数の普遍性を証明する事に成功した。その主張は「与えられたコンパクト領域CとC上の正則関数f(s)に対し、適当な立方剰余記号を選ぶと、対応するcubic L関数によりf(s)はC上一様近似できる」というものである。又、数論的ゼータ関数のs=1での特殊値が代数的な量を表すことに着目し、普遍性の応用として、K上の3次拡大体の類数分布の稠密性を証明する事に成功した。以上の結果を平成20年10月ドイツで開催されるコンファレンス"NEW DIRECTIONS IN THE THEORY OF UNIVERSAL ZETA-ANDL-FUNCTIONS"で報告する予定である。

令 K 为有理数域上加上 1 的立方根所获得的虚二次域。高斯引入了 K 上的三次余数符号，爱森斯坦证明了同一符号的倒数余数定律。与三次余数符号相关的K上的Hecke L函数在下文中被称为三次L函数。目前，从解析方面对三次L函数的研究包括W. Luo的不消失问题和H. Xia的零点密度定理。此前，我与Hirofumi Nagoshi一起，利用高斯平方余数互易定律成功证明了与平方余数符号相关的狄利克雷L函数的普遍性。基于这个过程中得到的方法，今年我们开始研究三次L函数的值分布。由此，我们通过应用爱森斯坦的三次余数互易定律和D.R.Heath-Brown的三次余数符号大筛不等式，成功证明了三次L函数的普遍性。其主张是“对于给定的紧致区域 C 和 C 上的全纯函数 f(s)，如果选择适当的三次余数符号，则可以通过相应的三次 L 函数在 C 上一致逼近 f(s)。”就是这样。此外，我们还关注算术zeta函数在s=1处的特殊值代表一个代数量，并且作为普适性的应用，我们证明了K上三次扩张域的类分布的稠密性。成功的。上述结果将于2008年10月在德国举行的“通用ZETA-ANDL-函数理论的新方向”会议上报告。