複素代数曲線の摂動に伴う特異点及び無限遠点の変化に関する幾何学的研究とその応用

复杂代数曲线摄动引起的奇点和无穷远点变化的几何研究及其应用

基本信息

批准号：
01J02245
负责人：
石川昌治
金额：
$ 1.54万
依托单位：
Tokyo Metropolitan University (2002)The University of Tokyo (2001)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2002
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-01J02245/
关键词：
divide open book decomposition Milnor fibration plumbing sextic Culler-Shalen norm boundary slope cyclic slope

项目摘要

上記の期間、主に以下の研究に従事しました。1.Divideの理論の曲面上への拡張と、divideのファイバー曲面のHopf bandsによるplumbing構造の証明。2.6次の複素代数曲線内に現れる特異点の分類。3.結び目補空間のcyclic slope, finite slope, Seifert slopeのboundary slopeによる評価。DivideはN.A'Campo氏により平面曲線特異点の幾何的構造の結び目理論への一般化として導入されたものですが、彼はそれをさらに曲面上に拡張することにより、曲面の接円束内の結び目理論に応用できることを示しました。また、plumbing構造の研究においては、plumbing操作とモース型特異点との間に1対1があることを示しました。6次曲線に関する研究においては、トーラス型と叫まれる6次曲線の分類はだいたい完了しており、一般の6次曲線の分類が研究の中心となりつつあります。その最初のステップとして、6次曲線に局所的に現れる特異点のリストを作成に従事しました。これは今後、大域的な分類をするにあたり、特異点の存在の可能性を組合せ的に調べる上で重要な資料となります。結び目補空間の研究において、cyclic群を持つ3次元多様体を生成するデーン手術の研究は、ポアンカレ予想にも関連した重要な対象となっています。Culler-Shalen理論は基本群のSL(2,C)表現から基本群の分解を発見するという理論であり、代数幾何的な考察からcyclic slopeの存在可能性を評価できることが知られています。上に挙げた研究においては、Culler-Shalen normの無限遠点の分配を評価することによりcyclic slope等の良い評価を得ることに成功しました。

在上述期间，我主要从事以下研究工作。 1.分割理论向曲面的推广及分割纤维曲面的Hopf带证明管道结构。 2. 6 阶复杂代数曲线中出现的奇点的分类。 3.结补空间中Seifert斜率的循环斜率、有限斜率和边界斜率的评估。 Divide 是由 N.A'Campo 先生引入的，作为平面曲线奇点的几何结构对结理论的推广，但通过将其进一步扩展到曲面，他证明了它可以应用于内部结理论。此外，在对管道结构的研究中，我们表明管道操作与莫尔斯奇点之间存在一对一的关系。在六阶曲线的研究中，对环面型六阶曲线的分类已基本完成，而一般六阶曲线的分类正成为研究的重点。第一步，我们创建了局部出现在六阶曲线上的奇点列表。这将成为未来对奇点存在可能性进行全局分类和组合研究的重要资源。在结互补空间的研究中，生成具有循环群的三维流形的Dehn运算的研究是与庞加莱猜想相关的重要课题。 Culler-Shalen理论是一种从基本群的SL(2,C)表示中发现分解的理论，并且已知可以从代数几何的考虑来评估循环斜率存在的可能性。在上述研究中，我们通过评估Culler-Shalen范数的无穷远点的分布，成功地获得了循环斜率等的良好评估。