調和解析学と非線形偏微分方程式の融合を目指して

旨在整合谐波分析和非线性偏微分方程

基本信息

批准号：
10894009
负责人：
小薗英雄
金额：
$ 1.98万
依托单位：
Nagoya University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
1998
资助国家：
日本
起止时间：
1998 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

Navier-Stokes方程式の解の安定性の解析にはStokes作用素Aに加えて、変数係数をもった低階の微分を含んだ項Bを摂動として処理しなければならない。外部問題の場合、よく知られた半群生成の摂動論は役に立たない。何故ならば、作用素A+Bのスペクトルの存在範囲をAのそれを不変にする様に摂動させなければならないからである。その際関数空間の選択に注意を払う必要がある。定常解の存在と安定性の問題は斉次Sobolev空間における考察でひと段落したものの、3次元外部領域の場合はnet forceがゼロであるという不自然な条件は依然そのままであった。これを克服するためにはStokes作用素が全単射であり、かつスケール不変則を満たすような新たな関数空間を見い出さねばならなかった。その試みとして、まずFourier変換、特異積分作用素が使える全空間R^NにおいてMorrey空間を実補間した空間を導入し、でNavier-Stokes方程式を解くことに成功した。これまでは複素補間を用いて、Navier-Stokes方程式の強解 (古典解)を構成したが、Riesz-Thorinの不等式に代表される様に、複素補間理論はシャープな補間不等式の係数が得られる反面、両立対の空間は広がらない。このことは、すべてのL^r(1<r<∞)において線形化方程式 (Stokes方程式)が可解である内部問題に関しては障害とならなかった。一方、実補間空間の利点は、両立対の空間からより広い空間が得られることであり、線形化方程式の可解性に制限のある外部問題に実補間空間理論を導入したことは、画期的な進歩であった。応用として、Lorentz空間P^<p,q>(Ω)において外部定常解を購成し、更にnet forceの条件を仮定することなく、その安定性を示した。

为了分析纳维-斯托克斯方程解的稳定性，除了斯托克斯算子 A 之外，我们还必须将包含变系数低阶微分的项 B 视为扰动。对于外部问题，著名的半群生成微扰理论毫无用处。这是因为算子A+B的谱范围必须被扰动才能保持A的谱范围不变。在这种情况下，就需要注意功能空间的选择。虽然通过考虑齐次Sobolev空间解决了平稳解的存在性和稳定性问题，但在三维外域的情况下，净力为零的不自然条件仍然存在。为了克服这个问题，我们必须找到一个新的函数空间，其中斯托克斯算子是双射的并且满足尺度不变性。作为尝试，我们首先在总空间R^N中引入了一个可以使用傅里叶变换和奇异积分算子的Morrey空间的实数插值空间，并成功地求解了Navier-Stokes方程。到目前为止，我们已经使用复数插值来构造纳维-斯托克斯方程的强解（经典解），但以 Riesz-Thorin 不等式为代表，复数插值理论可以为插值不等式产生尖锐的系数。兼容的空间没有扩大。这对于线性化方程（斯托克斯方程）对于所有 L^r(1<r<∞) 都是可解的内部问题来说并不是一个障碍。另一方面，实数插值空间的优点是可以从兼容对的空间中得到更宽的空间，将实数插值空间理论引入到线性化方程可解性有限的外部问题上是一个突破。重大进展。作为一个应用，我们购买了洛伦兹空间 P^<p,q>(Ω) 中的外部稳态解，并在不假设净力条件的情况下证明了其稳定性。