Mahler関数の超越性理論とその応用

马勒函数的超越理论及其应用

基本信息

批准号：
08640057
负责人：
西岡久美子
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
1996
资助国家：
日本
起止时间：
1996 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08640057/
关键词：
Mahler関数ヤコビ・テ-タ関数超越数フィボナッチ数列

项目摘要

ヤコビ・テ-タ関数の代数的数における値が超越数であるか否かは長い間、問題となってきた。最近Yu,V,Nesterenkoによって証明されたモジュラー関数の値の代数的独立性を使って、ヤコビ・テ-タ関数及びその導関数の代数的数でとる値が代数的独立であることを証明することができた。この定理はもちろんヤコビ・テ-タ関数の代数的数における値が超越数であることを含み、長年の問題が解決されたことになる。証明にはいままで超越数論では使われていなかった代数幾何における特殊化の概念を使う。また同じ発想で、フィボナッチ数列{Fn}_<n≧1>に対してΣ_<n≧1>1/Fn^2が超越数であることを証明した。この他にも同様の方法で色々な数の超越性を証明することができる。Mahler関数の超越性理論については基礎が確立されていなかったために、初学者が研究しにくい状況にあったので、Springer Lecture Notes in Mathematicsシリーズの1巻として「Mahler Functions and Transcendence」を著した。これを契機としてMahler関数は色々な応用を持つことが明らかになってきた。例えば前述のフィボナッチ数列に対する和Σ_<n≧1>1/F_dn(d≧2)等の超越性、代数的独立性を証明することができる。また最近では、単に超越性、代数的独立性を証明するだけでなく、q-加法的関数等の性質そのものも、超越数論の方法を使うことにより証明されてきている。

代数数中雅可比 theta 函数的值是否是超越数一直是一个问题。利用 Yu, V. Nesterenko 最近证明的模函数值的代数独立性，我们证明雅可比 theta 函数及其导数的代数数所取的值是代数独立的。那。当然，这个定理包括了代数数中雅可比 theta 函数的值是超越的这一事实，这意味着一个长期存在的问题已经解决了。该证明使用了代数几何中的专门化概念，该概念迄今为止尚未在超越数论中使用。利用同样的思想，他还证明了Σ_<n≧1>1/Fn^2是斐波那契数列{Fn}_<n≧1>的超越数。除此之外，各种数的超越性也可以用类似的方法来证明。由于马勒函数超越理论的基础尚未建立，初学者很难学习，因此他写了《马勒函数与超越》作为施普林格数学讲义系列的第一卷。此后，人们清楚马勒函数有多种应用。例如，可以证明上述斐波那契数列的和Σ_<n≥1>1/F_dn(d≥2)的超越性和代数独立性。近年来，除了简单地证明超越性和代数独立性之外，q-加性函数的性质也已经用超越数论的方法得到了证明。