双曲型空間の一定な平均曲率をもつ曲面

双曲空间中平均曲率恒定的曲面

基本信息

批准号：
06740077
负责人：
山田光太郎
金额：
$ 0.58万
依托单位：
Kumamoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1994
资助国家：
日本
起止时间：
1994 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-06740077/
关键词：
平均曲率 Gauss写像

项目摘要

双曲型空間H^3の中の定平均曲率1の曲面(CMC-1曲面)について,正則なデータを用いてそれを表現するBryantの公式-Weierstrass表現の双曲版-が知られていたが,それから具体的に曲面を構成することは難しい.それは,その表現公式にデータとして与えられる正則関数の幾何学的意味がimplicitであることに起因する.そこで,幾何学的な意味が明白な量であるような量で,双曲的Gauss写像,Hopf微分を用いて曲面を表現することを考えた.実際,これらの量を与えられると,対応するCMC-1曲面全体の集合を決定することができる.さらに,それらの曲面は,(簡単のため完備,全曲率有限の場合に限れば)コンパクトリーマン面上の定曲率1の共形擬計量で,有限個の点に錐的特異点を持つものと1対1の対応が付くことがわかった.この対応によって,完備,全曲率有限なCMC-1曲面で,対称性の高いものが構成できた.これらは,Euclid空間における対称性の高い極小曲面-例えばJorge-Meeks曲面-の双曲的対応物であるが,極小曲面の場合と違い,自己交差を持たないことが有り得る,ということが,数値計算とコンピュータ・グラフィックスによる実験の結果予想できた.これは,双曲型空間におけるCMC-1曲面の,Euclid空間の極小曲面と大きく異なる性質であると考えられる.われわれの構成法における双曲的Gauss写像の役割を観察すると,平均曲率が1でない場合の表現公式に関する示唆が得られる.しかし,この計算を具体的に遂行するには今一つ時間がかかると考える.

对于双曲线空间H^3中平均曲率1（CMC -1表面）的表面，Bryant公式 - Weierstrass表达式的双曲线版本 - 是已知的，它使用常规数据来表达它，但很难专门构建表面。这是因为给出的常规函数作为表达式的数据的几何含义是隐式的。因此，我们考虑使用具有明显的几何含义的数量使用双曲线高斯映射和HOPF衍生物表达表面。实际上，鉴于这些量，可以确定整个相应的CMC-1表面的集合。此外，这些表面是紧凑的riemann表面上恒定曲率1的共形拟仪（为简单起见，仅在总曲率有限的情况下），并且在有限点处圆锥单数点。发现该对应关系与CMC-1表面具有一对一的对应关系，具有完整的，有限的曲率和高度对称的对应关系。这些是欧几里德空间中高度对称表面的双曲线对应物，例如豪尔赫 - 梅克斯表面，但与微型表面的情况不同，它们可能没有自我交流。我们可以预测数值计算和计算机图形的结果。从欧几里德空间的微型表面中，这被认为是CMC-1表面的截然不同的特性。观察双曲线高斯映射在我们的施工方法中的作用为我们提供了有关表达公式的建议，而当平均曲率不是1时。但是，人们认为该计算将需要一些时间才能具体地进行。