`Nice' partitions and eigenvalues of the Laplacian

拉普拉斯算子的“Nice”分区和特征值

• 批准号: 17K14179
• 负责人: 船野 敬
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2017
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2017-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-17K14179/
• 关键词: ラプラシアンの固有値; 凸領域; 領域単調性; リッチ曲率; ラプラシアン; 固有値; pラプラシアン; Cheeger不等式; リーマン多様体; 測度集中; ラプラシアンの固有関数; 巨視的スカラー曲率; 双曲多様体; 極小曲面; Laplacianの固有値; Ricci曲率

ノイマン境界条件下でのラプラシアンの固有値（以下、ノイマン固有値と呼ぶ）の領域単調性について空間の分割を用いて研究を行った。前年度得られたユークリッド空間の二つの有界凸領域に関するノイマン固有値の領域単調性に関する証明に不備が見られたので修正をした。具体的には凸領域と球体の共通部で混合境界条件を課したときにラプラシアンの第一固有値の上からの評価をすることにより二つの凸領域に関する領域単調性を示すことができた。ラプラシアンの固有値と固有関数は熱方程式などの偏微分方程式の解の情報を知るうえで重要かつ基礎的であり領域単調性の今回の結果は領域の包含関係により解がどうなるかの一つの情報を与えるので意義はあると思われる。これら偏微分方程式の解への応用は今後の課題である。また領域単調性を示す際に用いた手法は球体によって良い被覆を取り、そこから空間の良い分割を作るといったものであった。この手法はこの研究課題題名と合致しており、研究実施計画通りに進んでいると思われる。領域単調性の証明の際に用いた球体によって良い被覆を取る手法を用いて非負リッチ曲率を持つリーマン多様体のノイマン固有値に関する上界を得ることができた。このノイマン固有値の評価はポリヤが提起した予想と関連していて、その予想が凸領域の場合に普遍定数倍で成り立つことがわかった。これは私が知る限りでは今までリーマン多様体の領域に関するノイマン固有値の体積を含めた評価の中ではベストな評価となっている。

我们使用空间划分研究了诺依曼边界条件下拉普拉斯特征值（以下简称诺依曼特征值）的域单调性。前一年得到的欧氏空间两个有界凸区域的诺依曼特征值的域单调性证明发现有缺陷，因此进行了修改。具体来说，当在凸区域和球体的相交处施加混合边界条件时，我们能够通过从上方评估拉普拉斯算子的第一个特征值来证明两个凸区域的域单调性。拉普拉斯算子的特征值和特征函数对于了解热方程等偏微分方程的解的信息非常重要且基础，而域单调性的这一结果提供了有关解如何根据域包含关系而变化的信息。它似乎很有意义，因为它给予。应用于这些偏微分方程的解是未来的主题。此外，用于证明域单调性的方法是用球体进行良好的覆盖，并从那里创建良好的空间划分。这种方法与本研究课题的标题一致，看来研究正在按照研究实施计划进行。使用用于证明域单调性的方法，获得球体的良好覆盖，我们能够获得具有非负里奇曲率的黎曼流形的诺依曼特征值的上限。诺伊曼特征值的这个评估与Polya提出的猜想有关，并且发现在凸区域的情况下乘以一个通用常数，这个猜想成立。据我所知，这是对包含诺依曼特征值体积的黎曼流形域的最佳评估。

项目成果

Concentration of eigenfunctions of the Laplacian on a closed Riemannian manifold

闭黎曼流形上拉普拉斯算子本征函数的集中

• DOI: 10.1090/proc/14430
• 发表时间: 2019
• 期刊: Proceedings of the American Mathematical Society
• 影响因子: 1
• 作者: Kei Funano and Yohei Sakurai

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Macroscopic scalar curvature and areas of cycles

宏观标量曲率和循环面积

• DOI: 10.1007/s00039-017-0417-8
• 发表时间: 2017
• 期刊: Geometric and Functional Analysis
• 影响因子: 2.2
• 作者: Kei Funano and Yohei Sakurai;Hannah Alpert and Kei Funano
• 通讯作者: Hannah Alpert and Kei Funano

ラプラシアンの固有関数の値の分布について

关于拉普拉斯特征函数值的分布

• 发表时间: 2018
• 作者: Alastair Darby;Shintaro Kuroki and Jongbaek Song;Nobuaki Naganuma;J. Jaerisch;永沼 伸顕;船野敬;J. Jaerisch;Shintaro Kuroki;永沼 伸顕;J. Jaerisch;船野敬;Shintaro Kuroki;永沼 伸顕;J. Jaerisch;船野敬
• 通讯作者: 船野敬

ハムサンドイッチからラプラシアンの固有値へ

从火腿三明治到拉普拉斯特征值

• 发表时间: 2017
• 作者: 船野敬