力学系における確率現象の解析的研究

动力系统中随机现象的分析研究

• 批准号: 05640261
• 负责人: 盛田 健彦
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1993
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1993 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-05640261/
• 关键词: 力学系; エルゴード理論; 確率過程; フックス群; 閉測地線; 極限定理; ビリヤード; フラクタル

有限生成第一種フックス群に付随した一次元力学系の時間発展を確率過程とみることによって、中心極限定理および局所極限定理を証明した。更に、このとき中心極限定理に現れる極限分散が非退化となる十分条件を力学系の軌道の性質を用いて表すことに成功した。この結果の幾何学的応用として、有限面積リーマン面上の向き付けられた閉測地線が数論における素数定理の類似をみたすことを導いた。上のリーマン面の場合には閉測地線が丁度測地的流れという力学系の周期軌道であるのだが、周期軌道の分布について素数定理の類似の成立が期待されながらも、その証明が得られていないいくつかの力学系に対して我々の方法を試みた。その結果、撞球型の力学系に関して次の中間的成果を得た。まず、ポテンシャル域が互いに素な複数個の非負値中心力場の中を運動する質点を記述する力学系の周期軌道について、摂動撞球への帰着によって素数定理の類似を検証できた。次にシナイの撞球と呼ばれる古典力学のエルゴード問題で重要な力学系に関しては、測度論的に十分大きな部分系が存在して素数定理の類似を満たすということが示せたにすぎず、最終結果まで至れなかった。これはマルコフ分割を用いた符号化がこれまでのようにうまくいかなかったことに原因が有り、この技術的な問題を解決するのはこれからの課題の一つである。これらの研究と並行して分数次元の相空間をもった力学系との関連でフラクタル上の拡散過程の推移確率密度の解析や、高次元の力学系の系統的研究の基礎として複素解折的な研究を行ない若干の結果を得た。

通过查看与有限生成的类型1 Fuchs组作为随机过程相关的一维动力系统的时间演变来证明中央和局部极限定理。此外，成功使用动态系统轨道的性质表达足够的条件，表达出现在中心极限定理中的极端分散体变得未加固的条件。作为该结果的几何应用，我们得出了有限区域Riemann表面上的定向的闭合地球线，看起来与数字理论中的Prime定理相似。在上方的黎曼表面的情况下，闭合的测量线是称为大地测量流的动态系统的周期性轨道，但是我们已经尝试了几种未经证明的动态系统的方法，尽管预计原理将同样固定在周期性轨道的分布中。结果，在圆柱形的动力系统方面获得了以下中间结果。首先，可以通过机械系统的周期性轨道来验证主要定理的相似性，这些机械系统的周期轨道描述了在具有相互质量潜在区域的多个非负中央力场中移动的质量点。接下来，关于称为西奈球形球体的经典力学问题中的重要力学系统，只表明在量度理论方面存在足够大的子系统以满足Prime定理的相似性，我们无法达到最终结果。这是由于以下事实：使用马尔可夫分部的编码没有像以前那样成功，而解决此技术问题是未来的挑战之一。与这些研究同时，与具有分数维相空间的机械系统有关，我们对分形的扩散过程的过渡概率密度进行了分析，并进行了复杂的共同养生研究，作为对高维机械系统的系统研究的基础，并获得了一些结果。

项目成果

H.Yamane: "Quantized enveloping algebras associated to simple Lie superalgebras and their universal R-matrices" Publ.Res.Inst.Math.Sci.Kyoto. 30(発表予定). (1994)

H. Yamane：“与简单李超代数及其通用 R 矩阵相关的量化包络代数”Publ.Res.Inst.Math.Sci.Kyoto 30（待出版）。

T.Morita: "Periodic orbits of a dynamical system in a compound central fields and a perturbed billiards system" Ergod.Th.& Dynam.Sys.(発表予定).

T.Morita：“复合中心场和扰动台球系统中动力系统的周期轨道”Ergod.Th.& Dynam.Sys（待提交）。

H.Yamane: "A Serre type theorem of affine Lie superalgebras and their quantized enveloping superalgebras" Proc.Japan Acad.Ser.A. (発表予定).

H.Yamane：“仿射李超代数及其量化包络超代数的 Serre 型定理”Proc.Japan Acad.Ser.A（待提交）。

T.Morita: "Local limit theorem and distribution of periodic orbits of Lasota-Yorke transformations with infinite Markov partition" J.Math.Soc.Japan. 46(発表予定). (1994)

T.Morita：“具有无限马尔可夫分区的 Lasota-Yorke 变换的局部极限定理和分布”J.Math.Soc.Japan 46（待出版）。

K.Hirachi: "The second variation of the Bergman kernel for ellipsoids" Osaka J.Math.30. 457-474 (1993)

K.Hirachi：“椭球体伯格曼核的第二个变体”Osaka J.Math.30。