古典力学系および群作用のエルゴード理論的研究

经典动力系统和群作用的遍历理论研究

• 批准号: 08640255
• 负责人: 盛田 健彦
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Tokyo Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08640255/
• 关键词: 閉測地線; 写像類群; エルゴード理論; 熱力学形式

本研究ではタイヒミュラー空間上の測地流と写像類群に焦点をしぼって,タイヒミュラー測地流に熱力学形式を応用できるようにすることを目標としていた.当初,アノソフ系のマルコフ分割にあたるものを構成することを目標としたが,研究途中でマルコフ分割の構成よりむしろリーマン面上の正則1次微分の軌道と区間入れ替え交換との関係を用いたVeechの方法が目標達成のために自然であることがわかり,この方向で研究がすすめられた.トーラスのリーマン空間であるモデュラー曲面の上の測地流は,上半平面の境界である実軸上の変換を用いて解析できること,具体的にはモデュラー群の実軸への作用と連分数展開のアルゴリズムをを与えるGauss変換とが軌道同値であることは古くから知られていた.そして,Gauss変換がモデュラー曲面上の測地流のクロスセクションから決まる,自然な変換になっていることに着目すれば,Gauss変換に熱力学形式を適用して閉測地線の分布の情報が引き出せることも近年知られるようになってきた.注意せねばならないのは,モデュラー群はトーラスの写像類群であり,閉測地線がモデュラー群の双曲元と対応していることである.今回の試みは,区間入れ替え変換の族が作る空間を,タイヒミュラー空間の境界の一部分とみなして,Veechがその上に導入した力学系に熱力学形式を適用しようというものであった.写像類群の双曲類である擬アノソフ類の分布に関して制限付きではあるが,モデュラー曲面と類似の結果を得ようと試みた.現段階ではGauss変換がみたすような極限定理の幾つかを,熱力学形式にあらわれる転送作用素の方法で示すことができたが,ある種のディリクレ級数の収束域についてまだ検討すべき点が残っている.これの解決があまりにも長期化すると判断した場合,とりあえず,極限定理だけについて論文にまとめることも考えている.

在本研究中，我们重点关注 Teichmuller 空间上的测地流和地图类群，旨在将热力学形式主义应用于 Teichmuller 测地流。最初，我们构建了与 Anosov 系统的马尔可夫分解等效的内容。然而，在研究过程中，我们发现 Veech 的方法（利用黎曼曲面上正则一阶导数的轨迹与区间交换之间的关系）才是实现目标的自然方法，而不是马尔可夫除法我明白了，有这个方向的研究。建议可以使用实轴（上半平面的边界）上的变换来分析模表面（即环面的黎曼空间）上的测地流，具体来说，是模群的作用在实轴上并给出连分式展开的算法。人们很早就知道，高斯变换是通过近年来，人们知道应用热力学形式可以导出闭合测地线的分布信息。必须指出的是，模群是环面的映射类群，闭合测地线是模群。对应于双曲元素这是一种尝试，将区间交换变换族创建的空间视为 Teichmuller 空间边界的一部分，并将热力学形式主义应用于 Veech 在其之上引入的双曲类映射类群的动力系统。尽管伪 Anosov 类的分布存在限制，但我们尝试获得与模曲面相似的结果。现阶段，我们尝试使用传递算子获得高斯变换满足的一些极限定理以方法中所示的热力学形式出现然而，对于某些狄利克雷级数的收敛区域，仍然有一些需要考虑的地方。如果确定解决这个问题需要太长时间，也许可以暂时只写一篇关于极限定理的论文。我在想。

项目成果

T.Morita: "Limit theorems and transfer operators for Lasotu-Yorke transformations" Sugaku Exposition Transl.A.M.S.9・2. 117-135 (1996)

T.Morita：“Lasotu-Yorke 变换的极限定理和传递算子”Sugaku Exposition Transl.A.M.S.9・2（1996）。

H.Shiga: "On the monodromy of holomorphic familie of Riemann Surfaces and modular transformations" Math.Proc.Cambridge.Philos.Soc.(発表予定).

H.Shiga：“关于黎曼曲面全纯族的单峰性和模变换”Math.Proc.Cambridge.Philos.Soc.（待提交）。

K.Ohshika: "Topologically conjugate kleinian groups" Proc.A.M.S.124. 739-743 (1996)

K.Ohshika：“拓扑共轭克莱因群”Proc.A.M.S.124。

H.Ito: "Integrable symplectic maps and their Birkhoff normal forms" Tohoku Math.J. 49・1(発表予定). (1997)

H.Ito：“可积辛映射及其 Birkhoff 范式”Tohoku Math.J. 49・1（待发表）。

Y.Nomura: "Absence of diffusion near the bottom of the spectrum for a random Schrodiriger operator on L^2(IR^3)" J.Math.Kyoto Univ.(発表予定).

Y.Nomura：“L^2(IR^3) 上的随机 Schrodiriger 算子在光谱底部附近不存在扩散”J.Math.Kyoto Univ。