高次マルコフ連鎖における連続して起こる事象の分布論とその応用の研究

高阶马尔可夫链连续事件分布理论及其应用研究

• 批准号: 10780157
• 负责人: 内田 雅之
• 金额: $ 1.02万
• 依托单位: The Institute of Statistical Mathematics
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1998
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1998 至 1999
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-10780157/
• 关键词: runs; higher order Markov chain; probability generating function; binomial distribution; binomial distribution of order k; rulls; geometric distribution; geometric distribution of order k

本研究で得られた知見。前年度の研究はhigher-order Markov chainの下でのorder kの幾何分布を条件付き確率母関数により厳密な形式で求めることであった。本研究はhigher-order Markov chainの下でのorder kの二項分布をexactに求めるというものであったが、本研究においても条件付き母関数法は依然として有効であることがわかった。特に、higher-order Markov chainの下において、長さkの成功連の数の分布を厳密に求めるのは困難であることが予想されるが、条件付き母関数法を使用して、その分布の確率母関数を漸化式の形式で導出することができた。さらに、求めた確率母関数の漸化式において、試行数についての母関数を考えることにより二重母関数の形式で厳密に導出することができた。この二重母関数からorder kの確率分布やそのモーメントなどは数式処理言語を使って計算機上で導出することができる。副産物として、higher-order Markov chainの下における通常の二項分布の二重母関数とorder kの二項分布の二重母関数との関係が明確になり、前年度のorder kの幾何分布の場合と併せて通常の離散分布とorder kの離散分布との関係が確率母関数や二重母関数を通じて明確になった。今後のこの研究の展開。order kの離散分布を厳密に求める上で一番困難であったorder kの二項分布を二重母関数の形式で導出したことによりinverse samplingと呼ばれる通常の二項分布と負の二項分布の関係式をorder kの離散分布の枠組みで考えられる可能性がでてきた。そこで、今後の研究の展開は昨年度の研究で求められたhigher-order Markov chainの下におけるorder kの幾何分布からorder kの負の二項分布の確率母関数を導出して、その分布の二重母関数を求める。さらに、本年度の研究により得られたorder kの二項分布の二重母関数とを対応させることによって、higher-order Markov chainの下でのorder kの離散分布という枠組みでinverse samplingの関係式を考察することが期待される。

从这项研究获得的发现。上一年的研究是使用条件概率发生器以严格的形式找到高阶马尔可夫链下订单K的几何分布。这项研究是为了准确计算高阶马尔可夫链下级k的二项式分布，但是在这项研究中，发现条件发生器方法仍然有效。特别是，预计难以准确确定高阶马尔可夫链下长度K连续序列的分布，但是该分布的概率发生器可以使用条件发生器方法以复发方程的形式得出。此外，在计算出的概率发生器的复发方程中，可以通过考虑试验数量的功率函数来精确地以双重发电机的形式得出。从该双发电机中，订单K及其矩的概率分布可以使用数学处理语言在计算机上得出。作为一种副产品，在高阶马尔可夫链下的正常二项式分布双重函数与阶k的二项式分布之间的关系已经变得清晰，除了上一年中订单k的几何分布的情况下，正常离散分布与离散分布之间的关系通过概率和双功能之间的关系也明确。这项研究的未来发展。通过得出K的二项式分布，这是以双发电机的形式审查订单K的离散分布的最难审查，它已经出现了一种可能在k k的离散分布的框架中认为，可以将正常二项式分布与称为逆采样的正常二项式分布之间的关系（称为二项式分布）之间进行。因此，未来的研究将开发，得出阶k的负二项式分布的概率发生器，从高阶马尔可夫链下的几何分布k的几何分布，这是在去年的研究中确定的，然后获得了该分布的双重发生器。此外，通过匹配从今年的研究中获得的k的二项式分布的双重函数，可以预期，在高阶马尔可夫链下订单k的离散分布框架中，反向采样的关系将被考虑。

项目成果

Masayuki Uchida: "Joint distributions of numbers of success-runs until the first consecutive k successes in a higher-order two-state Markov chain" Annals of the Institute of Statistical Mathematics. 50. 203-222 (1998)

Masayuki Uchida：“在高阶两态马尔可夫链中，直到第一个连续 k 次成功为止的成功运行次数的联合分布”统计数学研究所年鉴。

内田雅之: "高次マルコフ連鎖における離散確率分布について"統計数理. 47・1. 91-104 (1999)

内田雅之：“高阶马尔可夫链中的离散概率分布”统计数学47・1（1999）。