正準交換関係に関連した量子力学の関数解析的構造の解明とその応用

与正则交换关系相关的量子力学泛函解析结构的阐明及其应用

基本信息

批准号：
09740165
负责人：
渡辺秀司
金额：
$ 0.9万
依托单位：
Toyota National College of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1997
资助国家：
日本
起止时间：
1997 至 1998
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-09740165/
关键词：
Sobolev型の埋め込み定理特異な係数をもつ作用素 Fourier変換の1つの一般化 explicitな解多様体上の量子力学力学変数の自己共役性特異性をもつ作用素係数が特異な偏微分方程式自己共役性

项目摘要

1. Wignerによって発見された交換関係は、量子力学における正準交換関係の1つの拡張になっている。この交換関係にしたがう1次元調和振動子の運動量作用素は-iDで与えられる。ここで、D=∂/∂x-(c/x)R、Ru(x)=u(-x)、またcは実数のパラメータである。この作用素Dの特徴は原点x=0で特異、ということにある。パラメータcがゼロのときにはD=∂/∂xとなり、これについては偏微分方程式論で重要なSobolevの埋め込み定理やFriedrichs-Lax-Nirenbergの定理が知られている。その結果、偏微分方程式の弱い解の‘滑らかさ'につぃての知見が得られる。そこで、原点で特異になる上記のような作用素についても同様な定理が成立するのか、ということを調べた(研究発表欄の2番目の論文)。このような作用素に関しては‘滑らかさ'のみならず‘原点における特異性'についての知見も期待通りに得られた。この結果をBerlinで開催された国際数学者会議1998で報告するとともに、このsessionにおいて座長を務めた。さらに係数が特異な、ある拡散方程式のexplicitな解を発見したので論文にまとめた(研究発表欄の1番目の論文)。2. 正準交換関係が仮定された量子力学はEuclid空間上の力学法則とみなされる。他方、これ以外の交換関係を仮定することにより、いろいろな多様体上の量子力学が提案されている。そしてこれらが正しく量子力学となりうるためには力学変数が自己共役作用素でなければならない。したがって自己共役性の証明から、どれが量子力学として妥当であるかを判定できる。Diracの方法によるS^1上の量子力学にあらわれる力学変数の自己共役性を証明し、そしてスペクトルの解明を行った。また、これをS^1上の量子力学的粒子の運動を記述するSchrodinger方程式へ応用した(研究発表欄の3番目の論文)。

1、维格纳发现的对易关系是量子力学中正则对易关系的延伸。遵循这种交换关系的一维谐振子的动量算符由 -iD 给出。这里，D=∂/∂x-(c/x)R，Ru(x)=u(-x)，或者c是实参数。该算子D的特点是在原点x=0处是奇异的。当参数c为零时，D=∂/∂x，偏微分方程理论中重要的Sobolev嵌入定理和Friedrichs-Lax-Nirenberg定理因此而闻名。结果，我们深入了解了偏微分方程弱解的“平滑性”。因此，我们研究了类似的定理对于上述在原点变为奇异的算子是否成立（研究演示专栏中的第二篇论文）。对于这样的算子，我们不仅获得了“平滑性”的知识，而且还获得了“原点奇异性”的知识。我在1998年柏林举行的国际数学家大会上报告了这一结果，并担任了这次会议的主席。此外，我发现了具有唯一系数的特定扩散方程的显式解，我在一篇论文中对此进行了总结（研究演示部分的第一篇论文）。 2. 量子力学假设正则交换关系，被视为欧几里得空间上的力学定律。另一方面，通过假设其他交换关系，提出了各种流形上的量子力学。为了使它们成为正确的量子力学，力学变量必须是自伴算子。因此，从自共轭的证明，可以确定哪一个作为量子力学是有效的。我们用狄拉克方法证明了量子力学中出现的力学变量在S^1上的自共轭性质，并阐明了谱。我们还将其应用于薛定谔方程，该方程描述了量子力学粒子在 S^1 上的运动（研究演示部分的第三篇论文）。