Additive number theory in number fields

数域中的加法数论

基本信息

批准号：
22K13886
负责人：
甲斐亘
金额：
$ 2.25万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
财政年份：
2022
资助国家：
日本
起止时间：
2022-04-01 至 2027-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

数体の整数環において、有界な領域にある素元の個数を、小さな誤差内で予言する「三井の素数定理」（1957年）の精密なバージョンを証明しプレプリントにまとめた。Hecke L関数のSiegel零点も考慮して誤差の改善を図るほか応用を見据えて柔軟性を増してある。応用としては、Green-Tao-Ziegler による素数の満たす線型方程式の理論を、数体に拡張する仕事を考えている。Green-Tao-Zieglerの定理を数体に拡張するために、Green-Taoが過去に行なっていた複雑な組み合わせ論的計算を、数体でも遂行する作業に着手した。この計算が技術的には肝となる。自然数の場合と異なり、数体の文脈では、「数」と「イデアル」をきっちり区別する必要があり、同様の計算がこなせるかはアプリオリには大変不透明であるが、道筋は見えつつある。また、以下のような、ツールの点検とも言うべき作業を進めることができた。まず、Gowersノルムに関するvon Neumann定理が、値が高階でも成立することを確かめた。具体的には、同定理は整数のなすアーベル群Zに値をとるアフィン線型写像について定式化されるのが普通であるところ、一般の有限階数自由アーベル群Z^nでもしかるべき形で証明できることを確認した。また、Gowersノルムの逆定理も値がZで知られていたところ、Z^nの場合も簡単な帰着の議論で示せることを確かめた。さらに、自然数の集合Nでよく用いられるテクニックである篩法の一部が数体でも通用することを確認した。具体的には、乗法的モノイドNに同型かつ、素元の集合に全順序が入っており、この順序と整合するようなN値の乗法的なノルム写像をそなえたモノイドに対して、いわゆる「篩法の基本補題」が定式化できて成立する。

我们已经证明了Mitsui的Prime Theorem（1957）的精确版本，该版本可以预测一个数字环中有限区域中的元素数量，在小错误中，并在预印刷中编译它们。还考虑了Hecke L函数的Siegel零以改善错误，并随着应用的方式提高灵活性。作为一个应用程序，我们考虑扩展绿色-Tao-Ziegler的线性方程理论的任务，使数字满足质量数字。为了将绿色 - 陶齐格勒的定理扩展到几种形式，他开始努力进行绿色陶器过去执行的复杂组合计算，即使是几种形式。该计算在技术上很重要。与自然数字不同，在数字的背景下，有必要清楚地区分“数字”和“理想”，以及是否可以进行类似的计算，这是非常不清楚的，但是这条路径已经开始看到。我们还能够执行以下任务，这可以称为工具检查：首先，我们确认Gowers Norm上的von Neumann定理甚至在高阶值下也具有。具体而言，我们已经确认该定理通常是针对将值带入整数Z组的仿射线性图制定的，并且可以通过一般有限订单的免费亚伯的Z^n以适当的方式证明它。同样，当Gowers Norm的逆定理的值以Z为名时，我们确认Z^n的情况也可以在简单的和解论点中显示。此外，已经证实，筛子方法的一部分是一种在自然数中通常使用的技术，也适用于几种形式。具体而言，可以制定所谓的“筛子方法的基本引理”，并且可以实现与乘法单体n同构的单体，并且在一组元素中具有所有顺序，并且对于具有与该顺序一致的n值的多型范围型号的单体型号。